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Ableitung an einer Stelle

Die Ableitung an einer Stelle liefert die momentane Steigung und damit die lokale Änderungsrate.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Ableitung an einer Stelle

Um die Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ zu bestimmen, berechnest du zuerst die Ableitungsfunktion und setzt danach $x_{0}$ ein. Der Wert $f^{'} (x_{0})$ ist die Tangentensteigung und die momentane Änderungsrate.

m_{tan} = f^{'} (x_{0})

Für die vollständige geometrische Aussage gehört auch der Graphpunkt $P (x_{0} ∣ f (x_{0}))$ dazu. In Anwendungen muss der Ableitungswert mit der passenden Einheit gedeutet werden.

Das lernst du

Berechne f′(x₀) durch Ableiten und Einsetzen.
Unterscheide Funktionswert und Ableitungswert an derselben Stelle.
Deute den Ableitungswert als momentane Rate mit Einheit.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Steigung eines Polynoms

Bestimme Punkt und Steigung von $f (x) = x^{3} - 3 x$ bei $x_{0} = 2$ .

1Ableiten
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
2Steigung
$f^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 3 = 9$
3Punkt
$f (2) = 8 - 6 = 2 \Rightarrow P (2 ∣ 2)$

Ergebnis

Im Punkt $P (2 ∣ 2)$ beträgt die Steigung $9$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Momentane Geschwindigkeit

Für eine Bewegung gilt $s (t) = 5 t^{2}$ in Metern. Bestimme die Geschwindigkeit nach $4$ Sekunden.

1Wegfunktion ableiten
$v (t) = s^{'} (t) = 10 t$
2Zeit einsetzen
$v (4) = 10 \cdot 4 = 40$
3Einheit
Aus Metern und Sekunden entsteht Meter pro Sekunde.

Ergebnis

$v (4) = 40 \frac{m}{s}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

In f′ einsetzen

Es gilt $f^{'} (x) = 4 x + 1$ . Berechne $f^{'} (- 1)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Waagrechte Tangente

Für $f (x) = x^{2} - 6 x$ gilt $f^{'} (x) = 2 x - 6$ . Bei welchem x-Wert ist die Tangente waagrecht?

Aufgabe 3

Einfach

Wert oder Steigung

Was beschreibt $f^{'} (5) = - 2$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Bestandsrate

Eine Bestandsfunktion B wird in Tieren, t in Jahren gemessen. Wie deutest du $B^{'} (3) = 25$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Steigung einer kubischen Funktion

Gegeben ist $f (x) = x^{3} - 2 x$ . Bestimme die Ableitung an der Stelle $x = 2$ .

Aufgabe 6

Mittel

Exponentialsteigung im Ursprung

Bestimme $f^{'} (0)$ für $f (x) = e^{x} + 4$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Logarithmus einer quadratischen Summe

Bestimme $f^{'} (1)$ für $f (x) = l n (x^{2} + 1)$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Trigonometrische Kettenregel

Bestimme den Ableitungswert der folgenden Funktion an der angegebenen Stelle.

f (x) = sin (2 x) x = \frac{π}{6} f^{'} (x) = 2 cos (2 x)

Ableitung an einer Stelle

m_{tan} = f^{'} (x_{0})

Für die vollständige geometrische Aussage gehört auch der Graphpunkt $P (x_{0} ∣ f (x_{0}))$ dazu. In Anwendungen muss der Ableitungswert mit der passenden Einheit gedeutet werden.

Das lernst du

Berechne f′(x₀) durch Ableiten und Einsetzen.
Unterscheide Funktionswert und Ableitungswert an derselben Stelle.
Deute den Ableitungswert als momentane Rate mit Einheit.

Ableitung an einer Stelle

Ableitung an einer Stelle

Das lernst du

Steigung eines Polynoms

1Ableiten

2Steigung

3Punkt

Momentane Geschwindigkeit

1Wegfunktion ableiten

2Zeit einsetzen

3Einheit

In f′ einsetzen

Waagrechte Tangente

Wert oder Steigung

Bestandsrate

Steigung einer kubischen Funktion

Exponentialsteigung im Ursprung

Logarithmus einer quadratischen Summe

Trigonometrische Kettenregel

Ableitung an einer Stelle

Ableitung an einer Stelle

Das lernst du

Steigung eines Polynoms

1Ableiten

2Steigung

3Punkt

Momentane Geschwindigkeit

1Wegfunktion ableiten

2Zeit einsetzen

3Einheit

In f′ einsetzen

Waagrechte Tangente

Wert oder Steigung

Bestandsrate

Steigung einer kubischen Funktion

Exponentialsteigung im Ursprung

Logarithmus einer quadratischen Summe

Trigonometrische Kettenregel