Musteraufgabe 1
EinfachWeg und Geschwindigkeit
Ein Körper bewegt sich nach Metern; es gilt . Deute .
1Zeit einsetzen
2Einheit
3Bedeutung
Nach Sekunden beträgt die momentane Geschwindigkeit Meter pro Sekunde.
Ergebnis
Themenübersicht
Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente und zeigt, ob eine Funktion vor Ort steigt oder fällt.
Lernschritt
Theorie verstehen
Die Ableitung beschreibt an jeder Stelle die Steigung des Graphen von f. Positives f′ bedeutet Steigen, negatives f′ Fallen und eine waagrechte Tangente.
In Anwendungen ist f′ die momentane Änderungsrate: Aus einer Wegfunktion wird beispielsweise eine Geschwindigkeitsfunktion. Die Einheit wird «Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit».
Lernschritt
Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEin Körper bewegt sich nach Metern; es gilt . Deute .
Nach Sekunden beträgt die momentane Geschwindigkeit Meter pro Sekunde.
Ergebnis
Musteraufgabe 2
MittelFür eine Funktion gilt für , und für . Beschreibe den Verlauf.
Negative Steigung: f fällt.
Die Tangente ist waagrecht.
Positive Steigung: f steigt. Der Wechsel von Fallen zu Steigen zeigt ein lokales Minimum.
Ergebnis
f besitzt bei ein lokales Minimum.
Lernschritt
Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachWas bedeutet für den Graphen von f bei ?
Aufgabe 2
EinfachDie Ableitung beträgt an einer Stelle −. Steigt oder fällt f dort?
Aufgabe 3
EinfachWelchen Wert hat die Ableitung bei einer waagrechten Tangente?
Aufgabe 4
EinfachWelche konstante Ableitung besitzt ?
Aufgabe 5
MittelLies am markierten Punkt die Richtung der Tangente ab. Welche Aussage über die Ableitung ist richtig?
Aufgabe 6
MittelBei einer Tangente beträgt die waagerechte Änderung Δ und die senkrechte Änderung Δ. Bestimme die Ableitung im Berührpunkt.
Aufgabe 7
AnspruchsvollDargestellt ist der Graph der Ableitungsfunktion. Lies ihre Nullstellen und Vorzeichenwechsel ab und klassifiziere die beiden Extremstellen von f.
Aufgabe 8
AnspruchsvollFür eine differenzierbare Funktion gilt > auf (−∞; −) und (; ∞), aber < auf (−; ). Klassifiziere die stationären Stellen und .