Themenübersicht

Ableitung mit der x0-Methode

Die x₀-Methode bestimmt die Tangentensteigung direkt an einer festgelegten Stelle des Graphen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Ableitung mit der x₀-Methode

Die x₀-Methode bestimmt die Ableitung direkt an einer fest gewählten Stelle $x_{0}$ . Im Gegensatz zur h-Methode bleibt im Ergebnis keine allgemeine Variable x übrig.

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}

Meist entsteht nach Einsetzen eine faktorisierbare Differenz. Der Faktor $x - x_{0}$ wird für $x \neq = x_{0}$ gekürzt; danach kann der Grenzwert ausgewertet werden.

Das lernst du

Setze Funktion und feste Stelle in die x₀-Definition ein.
Faktorisiere den Zähler und kürze x − x₀.
Berechne die konkrete Tangentensteigung als Grenzwert.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Parabel bei x₀ = 2

Bestimme $f^{'} (2)$ für $f (x) = x^{2}$ mit der x₀-Methode.

1Definition
$f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$
2Differenz von Quadraten
$\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$
3Grenzwert
$f^{'} (2) = 2 + 2 = 4$

Ergebnis

Die Tangentensteigung bei $x = 2$ ist $4$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Kubikfunktion bei x₀ = 1

Bestimme $g^{'} (1)$ für $g (x) = x^{3}$ .

1Quotient
$\frac{x ^{3} - 1}{x - 1}$
2Kubische Differenz
$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$
3Grenzwert
$g^{'} (1) = x \to 1 lim (x^{2} + x + 1) = 3$

Ergebnis

$g^{'} (1) = 3$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Negative Stelle

Für $f (x) = x^{2}$ gilt nach der x₀-Methode $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$ . Bestimme $f^{'} (- 2)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Gerade

Bestimme $g^{'} (7)$ für $g (x) = 3 x + 4$ .

Aufgabe 3

Einfach

Steigung bei null

Bestimme $h^{'} (0)$ für $h (x) = x^{2} + 1$ .

Aufgabe 4

Einfach

Rollen der Variablen

Welche Grösse bleibt bei der x₀-Methode fest?

Aufgabe 5

Mittel

Ableitung an x₀ = 3

Bestimme für $f (x) = x^{2}$ mit der x₀-Methode die Ableitung an der Stelle x₀ = $3$ .

Aufgabe 6

Mittel

Ableitung einer quadratischen Funktion bei −1

Berechne mit der x₀-Methode $f^{'} (- 1)$ für $f (x) = 2 x^{2} - x$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Wurzelfunktion an der Stelle vier

Bestimme mit der x₀-Methode die Ableitung von $f (x) = x$ an der Stelle x₀ = $4$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Kehrwertfunktion an der Stelle zwei

Berechne mit der x₀-Methode die Ableitung der Kehrwertfunktion an der Stelle $2$ .

f (x) = \frac{1}{x} f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2}

Ableitung mit der x₀-Methode

Die x₀-Methode bestimmt die Ableitung direkt an einer fest gewählten Stelle $x_{0}$ . Im Gegensatz zur h-Methode bleibt im Ergebnis keine allgemeine Variable x übrig.

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}

Meist entsteht nach Einsetzen eine faktorisierbare Differenz. Der Faktor $x - x_{0}$ wird für $x \neq = x_{0}$ gekürzt; danach kann der Grenzwert ausgewertet werden.

Das lernst du

Setze Funktion und feste Stelle in die x₀-Definition ein.
Faktorisiere den Zähler und kürze x − x₀.
Berechne die konkrete Tangentensteigung als Grenzwert.

Ableitung mit der x0-Methode

Ableitung mit der x₀-Methode

Das lernst du

Parabel bei x₀ = 2

1Definition

2Differenz von Quadraten

3Grenzwert

Kubikfunktion bei x₀ = 1

1Quotient

2Kubische Differenz

3Grenzwert

Negative Stelle

Gerade

Steigung bei null

Rollen der Variablen

Ableitung an x₀ = 3

Ableitung einer quadratischen Funktion bei −1

Wurzelfunktion an der Stelle vier

Kehrwertfunktion an der Stelle zwei

Ableitung mit der x0-Methode

Ableitung mit der x₀-Methode

Das lernst du

Parabel bei x₀ = 2

1Definition

2Differenz von Quadraten

3Grenzwert

Kubikfunktion bei x₀ = 1

1Quotient

2Kubische Differenz

3Grenzwert

Negative Stelle

Gerade

Steigung bei null

Rollen der Variablen

Ableitung an x₀ = 3

Ableitung einer quadratischen Funktion bei −1

Wurzelfunktion an der Stelle vier

Kehrwertfunktion an der Stelle zwei