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Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion ordnet jedem x-Wert die Steigung des ursprünglichen Graphen an dieser Stelle zu.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ ordnet jeder differenzierbaren Stelle x die Tangentensteigung des Graphen von f zu. Ihr eigener Graph zeigt also, wie sich die Steigung von f verändert.

x \mapsto f^{'} (x)

Nullstellen von f′ markieren waagrechte Tangenten von f. Positive Bereiche von f′ entsprechen steigenden, negative Bereiche fallenden Abschnitten von f.

Das lernst du

Bestimme eine Ableitungsfunktion aus einer einfachen Funktionsgleichung.
Berechne mit f′ die Steigung an beliebigen Stellen.
Verknüpfe Nullstellen und Vorzeichen von f′ mit dem Verlauf von f.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Ableitungsfunktion eines Polynoms

Bestimme $f^{'} (x)$ für $f (x) = x^{3} - 2 x$ und berechne $f^{'} (2)$ .

1Einzelne Terme ableiten
$(x^{3})^{'} = 3 x^{2} (- 2 x)^{'} = - 2$
2Ableitungsfunktion
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$
3Stelle einsetzen
$f^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 2 = 10$

Ergebnis

Bei $x = 2$ hat f die Steigung $10$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Verlauf einer Parabel aus f′

Für $g (x) = x^{2} - 4 x$ gilt $g^{'} (x) = 2 x - 4$ . Bestimme den Wechsel des Monotonieverhaltens.

1Nullstelle von g′
$2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
2Links davon
Für $x < 2$ ist $g^{'} (x) < 0$ : g fällt.
3Rechts davon
Für $x > 2$ ist $g^{'} (x) > 0$ : g steigt.

Ergebnis

Bei $x = 2$ wechselt g von fallend zu steigend.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ableitung auswählen

Welche Ableitungsfunktion gehört zu $f (x) = x^{2} + 3 x - 1$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Steigungswert

Es gilt $f^{'} (x) = 6 x - 4$ . Berechne die Steigung von f bei $x = 2$ .

Aufgabe 3

Einfach

Geradenableitung

Bestimme die Ableitung von $g (x) = 5 x - 7$ .

Aufgabe 4

Einfach

Waagrechte Tangente

Für $h (x) = x^{3}$ gilt $h^{'} (x) = 3 x^{2}$ . Bei welchem x-Wert ist die Tangente waagrecht?

Aufgabe 5

Mittel

Ableitungsfunktion eines Polynoms

Bestimme die Ableitungsfunktion von $f (x) = 4 x^{3} - 2 x + 7$ .

Aufgabe 6

Mittel

Monotonie aus dem Ableitungsgraphen

Dargestellt ist der Graph von f'. Auf welchem offenen Intervall fällt die ursprüngliche Funktion f?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Produkt mit der Exponentialfunktion

Bestimme und vereinfache die Ableitungsfunktion von $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Funktion aus ihrer Ableitung rekonstruieren

Gegeben sind $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1$ und $f (0) = 3$ . Bestimme $f (x)$ .

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ ordnet jeder differenzierbaren Stelle x die Tangentensteigung des Graphen von f zu. Ihr eigener Graph zeigt also, wie sich die Steigung von f verändert.

x \mapsto f^{'} (x)

Nullstellen von f′ markieren waagrechte Tangenten von f. Positive Bereiche von f′ entsprechen steigenden, negative Bereiche fallenden Abschnitten von f.

Das lernst du

Bestimme eine Ableitungsfunktion aus einer einfachen Funktionsgleichung.
Berechne mit f′ die Steigung an beliebigen Stellen.
Verknüpfe Nullstellen und Vorzeichen von f′ mit dem Verlauf von f.

Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion

Das lernst du

Ableitungsfunktion eines Polynoms

1Einzelne Terme ableiten

2Ableitungsfunktion

3Stelle einsetzen

Verlauf einer Parabel aus f′

1Nullstelle von g′

2Links davon

3Rechts davon

Ableitung auswählen

Steigungswert

Geradenableitung

Waagrechte Tangente

Ableitungsfunktion eines Polynoms

Monotonie aus dem Ableitungsgraphen

Produkt mit der Exponentialfunktion

Funktion aus ihrer Ableitung rekonstruieren

Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion

Das lernst du

Ableitungsfunktion eines Polynoms

1Einzelne Terme ableiten

2Ableitungsfunktion

3Stelle einsetzen

Verlauf einer Parabel aus f′

1Nullstelle von g′

2Links davon

3Rechts davon

Ableitung auswählen

Steigungswert

Geradenableitung

Waagrechte Tangente

Ableitungsfunktion eines Polynoms

Monotonie aus dem Ableitungsgraphen

Produkt mit der Exponentialfunktion

Funktion aus ihrer Ableitung rekonstruieren