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Differentialquotient

Der Differentialquotient entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten und liefert die momentane Änderungsrate.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Vom Differenzen- zum Differentialquotienten

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn der zweite Punkt gegen den ersten rückt. Existiert dieser Grenzwert, ist f an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar.

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Der Wert $f^{'} (x_{0})$ ist sowohl die Tangentensteigung als auch die momentane Änderungsrate. Links- und rechtsseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen.

Das lernst du

Erkläre den Differentialquotienten als Grenzwert von Sekantensteigungen.
Berechne einfache Ableitungen direkt aus der Grenzwertdefinition.
Prüfe an Knickstellen links- und rechtsseitige Steigungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratische Funktion an einer Stelle

Berechne mit dem Differentialquotienten $f^{'} (3)$ für $f (x) = x^{2}$ .

1Definition einsetzen
$f^{'} (3) = x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$
2Faktorisieren und kürzen
$\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3Grenzwert
$f^{'} (3) = x \to 3 lim (x + 3) = 6$

Ergebnis

Die momentane Steigung bei $x = 3$ beträgt $6$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Knickstelle ohne Ableitung

Prüfe $f (x) = ∣ x ∣$ bei $x_{0} = 0$ .

1Von rechts
$h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣ - 0}{h} = 1$
2Von links
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣ - 0}{h} = - 1$
3Vergleichen
$1 \neq = - 1$

Ergebnis

Wegen unterschiedlicher einseitiger Grenzwerte ist $∣ x ∣$ bei $0$ nicht differenzierbar.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Grenzwert auswerten

Berechne $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Lineare Ableitung

Bestimme den Differentialquotienten von $f (x) = 5 x - 1$ an einer beliebigen Stelle.

Aufgabe 3

Einfach

Einseitige Grenzwerte

Linksseitige Steigung ist $2$ , rechtsseitige Steigung $2$ . Ist die Funktion an der Stelle bezüglich dieser Steigungen differenzierbar?

Aufgabe 4

Einfach

Knick erkennen

Linksseitige Steigung ist − $3$ , rechtsseitige Steigung $1$ . Wie viele eindeutige Ableitungswerte gibt es an der Stelle?

Aufgabe 5

Mittel

Grenzwert eines Differenzenquotienten

Berechne den dargestellten Grenzwert.

h \to 0 lim \frac{( 2 + h ) ^{2} - 4}{h}

Aufgabe 6

Mittel

Grenzwert mit Differenz von Kuben

Berechne den dargestellten Grenzwert.

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Grenzwert durch Rationalisieren

Berechne den dargestellten Grenzwert durch Rationalisieren.

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Nicht existierender Differentialquotient

Untersuche den Differentialquotienten von $f (x) = ∣ x ∣$ an der Stelle x₀ = $0$ . Gib an, ob $f^{'} (0)$ existiert.

Vom Differenzen- zum Differentialquotienten

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn der zweite Punkt gegen den ersten rückt. Existiert dieser Grenzwert, ist f an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar.

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Der Wert $f^{'} (x_{0})$ ist sowohl die Tangentensteigung als auch die momentane Änderungsrate. Links- und rechtsseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen.

Das lernst du

Erkläre den Differentialquotienten als Grenzwert von Sekantensteigungen.
Berechne einfache Ableitungen direkt aus der Grenzwertdefinition.
Prüfe an Knickstellen links- und rechtsseitige Steigungen.

Differentialquotient

Vom Differenzen- zum Differentialquotienten

Das lernst du

Quadratische Funktion an einer Stelle

1Definition einsetzen

2Faktorisieren und kürzen

3Grenzwert

Knickstelle ohne Ableitung

1Von rechts

2Von links

3Vergleichen

Grenzwert auswerten

Lineare Ableitung

Einseitige Grenzwerte

Knick erkennen

Grenzwert eines Differenzenquotienten

Grenzwert mit Differenz von Kuben

Grenzwert durch Rationalisieren

Nicht existierender Differentialquotient

Differentialquotient

Vom Differenzen- zum Differentialquotienten

Das lernst du

Quadratische Funktion an einer Stelle

1Definition einsetzen

2Faktorisieren und kürzen

3Grenzwert

Knickstelle ohne Ableitung

1Von rechts

2Von links

3Vergleichen

Grenzwert auswerten

Lineare Ableitung

Einseitige Grenzwerte

Knick erkennen

Grenzwert eines Differenzenquotienten

Grenzwert mit Differenz von Kuben

Grenzwert durch Rationalisieren

Nicht existierender Differentialquotient