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Differenzenquotient

Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten eines Graphen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Der Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist die algebraische Form der mittleren Änderungsrate. Er gibt zugleich die Steigung der Sekante durch zwei Graphpunkte an.

m_{sek} = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}

Mit einem Ausgangswert x und einer Intervallbreite h lässt sich dieselbe Formel als $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ schreiben. Dabei muss $h \neq = 0$ gelten.

Das lernst du

Setze zwei Stellen korrekt in den Differenzenquotienten ein.
Vereinfache einen Differenzenquotienten mit der Intervallbreite h.
Deute den Quotienten als Sekantensteigung.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Sekantensteigung einer Parabel

Berechne den Differenzenquotienten von $f (x) = x^{2}$ zwischen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 5$ .

1Funktionswerte
$f (2) = 4 f (5) = 25$
2Einsetzen
$\frac{25 - 4}{5 - 2} = \frac{21}{3}$
3Steigung
$m_{sek} = 7$

Ergebnis

Die Sekante hat die Steigung $7$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Allgemeiner h-Quotient

Vereinfache den Differenzenquotienten von $f (x) = x^{2}$ für die Stellen x und $x + h$ .

1Term einsetzen
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h}$
2Binom ausmultiplizieren
$\frac{x ^{2} + 2 x h + h ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h}$
3h kürzen
$2 x + h (h \neq = 0)$

Ergebnis

Der Differenzenquotient lautet $2 x + h$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Lineare Funktion

Berechne den Differenzenquotienten von $f (x) = 3 x - 2$ zwischen $x = 1$ und $x = 6$ .

Aufgabe 2

Einfach

Kubische Funktion

Berechne den Differenzenquotienten von $g (x) = x^{3}$ im Intervall $[1, 2]$ .

Aufgabe 3

Einfach

Mit h vereinfachen

Vereinfache $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ für $f (x) = 4 x + 1$ . Gib das Resultat ein.

Aufgabe 4

Einfach

Reihenfolge prüfen

Welche Formel ist korrekt?

Aufgabe 5

Mittel