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Extremwertaufgaben Schritt für Schritt

Eine Extremwertaufgabe wird über Nebenbedingung, Zielfunktion und die Prüfung des gefundenen Extremums gelöst.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Extremwertaufgaben aus Texten modellieren

Eine Extremwertaufgabe verlangt zuerst ein mathematisches Modell. Formuliere Zielgrösse und Nebenbedingung, reduziere die Zielgrösse auf eine Variable und beachte den sachlich erlaubten Definitionsbereich.

Z (x) ⟶ Maximum oder Minimum Z^{'} (x) = 0

Nach der rechnerischen Klassifikation musst du das Ergebnis in der Situation deuten und Randwerte berücksichtigen.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Variablen und Zielgrösse festlegen: Benenne alle veränderlichen Grössen samt Einheit und notiere, welche Grösse maximal oder minimal werden soll.

x, y > 0 Z = Z (x, y) ⟶ max oder min

$2$ . Nebenbedingung auflösen: Die Sachbedingung verbindet die Variablen. Löse sie nach einer Variablen auf und setze diese in die Zielgrösse ein.

N (x, y) = c \Rightarrow y = g (x)

Z (x, y) = Z (x, g (x)) =: Z (x)

$3$ . Sachlichen Bereich bestimmen: Alle Längen, Zeiten und Mengen müssen sinnvoll sein; diese Bedingungen liefern die zulässigen x-Werte.

x > 0 g (x) > 0 \Rightarrow x \in D_{sachlich}

$4$ . Innere Kandidaten untersuchen: Löse die notwendige Extremumbedingung und klassifiziere jeden zulässigen Kandidaten.

Z^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = x_{E}

Z^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow lokales Maximum Z^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow lokales Minimum

$5$ . Globales Optimum und Deutung: Vergleiche innere Kandidaten mit Randwerten, berechne alle ursprünglichen Grössen zurück und formuliere das Ergebnis mit Einheit.

Z (x_{E}) mit Z (x_{m i n}), Z (x_{m a x}) vergleichen

y_{E} = g (x_{E}) Z_{opt} = Z (x_{E})

Eine vollständige Abgabe enthält: Modellskizze, Nebenbedingung, Zielfunktion, Definitionsbereich, Extremwertnachweis, Randvergleich und eine verständliche Antwort im Sachzusammenhang.

Das lernst du

Unterscheide Zielgrösse und Nebenbedingung.
Stelle eine Zielfunktion in einer Variablen auf.
Prüfe stationäre Stelle, Randwerte und sachliche Bedeutung.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Rechteck mit maximaler Fläche

Ein Rechteck hat Umfang $20 m$ . Bestimme die Seitenlängen mit maximaler Fläche.

1Nebenbedingung
$2 x + 2 y = 20 \Rightarrow y = 10 - x 0 < x < 10$
2Zielfunktion
$A (x) = x y = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$
3Stationäre Stelle
$A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 5$
4Maximum und Deutung
$A^{''} (x) = - 2 < 0 y = 10 - 5 = 5 A_{m a x} = 25$

Ergebnis

Das Quadrat mit Seitenlängen $5 m$ besitzt die maximale Fläche $25 m^{2}$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Maximale Fläche am Fluss

Mit $240 m$ Zaun soll am geraden Fluss ein rechteckiges Gehege gebaut werden; die Flussseite braucht keinen Zaun. Bestimme die optimalen Seiten.

1Modell
Für zwei Breiten x und die gegenüberliegende Länge y gilt $2 x + y = 240$ .
$y = 240 - 2 x 0 \leq x \leq 120$
2Zielfunktion
Setze die Nebenbedingung in $A = x y$ ein.
$A (x) = x (240 - 2 x) = 240 x - 2 x^{2}$
3Maximum
$A^{'} = 240 - 4 x$ wird bei $x = 60$ null; $A^{''} = - 4$ bestätigt das Maximum. Dann ist $y = 120$ .
$A_{m a x} = 60 \cdot 120 = 7200$

Ergebnis

Optimal sind $60 m$ Tiefe und $120 m$ Länge; die maximale Fläche beträgt $7200 m^{2}$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Scheitel einer Parabel

Bestimme die x-Koordinate des Maximums von $Z (x) = - x^{2} + 10 x - 9$ .

Aufgabe 2

Einfach

Quadrat aus Umfang

Ein Quadrat hat den Umfang $48 cm$ . Wie lang ist eine Seite des flächenmaximalen Quadrats?

Aufgabe 3

Mittel

Rechteck am Fluss

Mit $100 m$ Zaun soll ein rechteckiges Gehege gebaut werden; eine Seite liegt am Fluss und braucht keinen Zaun. Welche Tiefe x (senkrecht zum Fluss) maximiert die Fläche, wenn x die kürzere Seite ist?

Aufgabe 4

Mittel

Maximum auf einem Intervall

Bestimme das Maximum von $Z (x) = x (8 - x)$ auf $0 \leq x \leq 8$ .

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Zaun am Flussufer

$240 m$ Zaun stehen zur Verfügung. Am geraden Fluss braucht eine Seite keinen Zaun.

a) Formuliere Nebenbedingung und Zielfunktion $A (x)$ für die Tiefe x.
b) Bestimme den sachlichen Definitionsbereich.
c) Berechne die optimalen Abmessungen und die maximale Fläche.
d) Vergleiche den inneren Extremwert mit den Randwerten des sachlichen Definitionsbereichs und formuliere das globale Optimum mit Einheit im Kontext.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Zylindrische Dose

Ein Zylinder soll das Volumen $500 c m^{3}$ haben. Die Materialkosten sind proportional zur Oberfläche.

a) Drücke h durch r aus $(V = 500)$ .
b) Stelle die Oberfläche $O (r)$ auf.
c) Minimiere $O (r)$ und gib r sowie h an.
d) Vergleiche den inneren Extremwert mit den Randwerten des sachlichen Definitionsbereichs und formuliere das globale Optimum mit Einheit im Kontext.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Rechteck unter Parabel

y = 9 - x^{2}

a) Modelliere ein achsensymmetrisches Rechteck unter dem Graphen mit Breite 2x.
b) Stelle $A (x)$ auf und leite ab.
c) Bestimme maximale Fläche und Abmessungen.
d) Vergleiche den inneren Extremwert mit den Randwerten des sachlichen Definitionsbereichs und formuliere das globale Optimum mit Einheit im Kontext.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter in der Nebenbedingung

Ein Rechteck hat Umfang U. Für welches Seitenverhältnis ist die Fläche maximal?

a) Stelle $A (x)$ mit Nebenbedingung $2 x + 2 y = U$ auf.
b) Bestimme die optimale Seitenlänge x.
c) Interpretiere das Ergebnis unabhängig von U.
d) Vergleiche den inneren Extremwert mit den Randwerten des sachlichen Definitionsbereichs und formuliere das globale Optimum mit Einheit im Kontext.

Extremwertaufgaben aus Texten modellieren

Z (x) ⟶ Maximum oder Minimum Z^{'} (x) = 0

Nach der rechnerischen Klassifikation musst du das Ergebnis in der Situation deuten und Randwerte berücksichtigen.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Variablen und Zielgrösse festlegen: Benenne alle veränderlichen Grössen samt Einheit und notiere, welche Grösse maximal oder minimal werden soll.

x, y > 0 Z = Z (x, y) ⟶ max oder min

$2$ . Nebenbedingung auflösen: Die Sachbedingung verbindet die Variablen. Löse sie nach einer Variablen auf und setze diese in die Zielgrösse ein.

N (x, y) = c \Rightarrow y = g (x)

Z (x, y) = Z (x, g (x)) =: Z (x)

$3$ . Sachlichen Bereich bestimmen: Alle Längen, Zeiten und Mengen müssen sinnvoll sein; diese Bedingungen liefern die zulässigen x-Werte.

x > 0 g (x) > 0 \Rightarrow x \in D_{sachlich}

$4$ . Innere Kandidaten untersuchen: Löse die notwendige Extremumbedingung und klassifiziere jeden zulässigen Kandidaten.

Z^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = x_{E}

Z^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow lokales Maximum Z^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow lokales Minimum

$5$ . Globales Optimum und Deutung: Vergleiche innere Kandidaten mit Randwerten, berechne alle ursprünglichen Grössen zurück und formuliere das Ergebnis mit Einheit.

Z (x_{E}) mit Z (x_{m i n}), Z (x_{m a x}) vergleichen

y_{E} = g (x_{E}) Z_{opt} = Z (x_{E})

Eine vollständige Abgabe enthält: Modellskizze, Nebenbedingung, Zielfunktion, Definitionsbereich, Extremwertnachweis, Randvergleich und eine verständliche Antwort im Sachzusammenhang.

Das lernst du

Unterscheide Zielgrösse und Nebenbedingung.
Stelle eine Zielfunktion in einer Variablen auf.
Prüfe stationäre Stelle, Randwerte und sachliche Bedeutung.

Extremwertaufgaben Schritt für Schritt

Extremwertaufgaben aus Texten modellieren

Das lernst du

Rechteck mit maximaler Fläche

1Nebenbedingung

2Zielfunktion

3Stationäre Stelle

4Maximum und Deutung

Maximale Fläche am Fluss

1Modell

2Zielfunktion

3Maximum

Scheitel einer Parabel

Quadrat aus Umfang

Rechteck am Fluss

Maximum auf einem Intervall

Zaun am Flussufer

Zylindrische Dose

Rechteck unter Parabel

Parameter in der Nebenbedingung

Extremwertaufgaben Schritt für Schritt

Extremwertaufgaben aus Texten modellieren

Das lernst du

Rechteck mit maximaler Fläche

1Nebenbedingung

2Zielfunktion

3Stationäre Stelle

4Maximum und Deutung

Maximale Fläche am Fluss

1Modell

2Zielfunktion

3Maximum

Scheitel einer Parabel

Quadrat aus Umfang

Rechteck am Fluss

Maximum auf einem Intervall

Zaun am Flussufer

Zylindrische Dose

Rechteck unter Parabel

Parameter in der Nebenbedingung