Themenübersicht

Formelübersicht Analysis

Die Formelübersicht bündelt Ableitungs- und Integrationsregeln sowie zentrale Kriterien für die Kurvendiskussion.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Analysisformeln auswählen und verknüpfen

In Prüfungsaufgaben entscheidet nicht die Länge der Formelsammlung, sondern die passende Verbindung aus Funktion, Ableitung und Integral. Die Ableitung beschreibt lokale Änderung; das bestimmte Integral summiert vorzeichenbehaftete Beiträge.

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (f \circ g)^{'} = (f^{'} \circ g) g^{'}

t (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Bei Flächen musst du Nullstellen berücksichtigen und gegebenenfalls den Betrag beziehungsweise Teilintervalle verwenden.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Gesuchte Grösse zuordnen: Funktionswerte beschreiben Punkte, Ableitungen lokale Änderung und bestimmte Integrale eine aufsummierte Bilanz.

P (x_{0} ∣ f (x_{0})) m_{T} = f^{'} (x_{0}) Δ F = \int_{a}^{b} f (x) d x

$2$ . Ableitungsregel aus der Termstruktur wählen: Zerlege den Term in Faktoren, Quotient oder Verkettung und leite erst dann nach der passenden Regel ab.

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

$3$ . Besondere Stellen untersuchen: Löse die notwendige Gleichung und klassifiziere den Kandidaten mit einer weiteren Ableitung oder einem Vorzeichenwechsel.

f^{'} (x_{E}) = 0 f^{''} (x_{E}) ≷ 0 \Rightarrow T oder H

f^{''} (x_{W}) = 0 f^{'''} (x_{W}) \neq = 0 \Rightarrow W

$4$ . Integral oder Fläche berechnen: Bestimme Schnitt- und Nullstellen, lege obere und untere Funktion fest und teile bei Vorzeichenwechseln das Intervall.

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x f \overset{u}{¨} r f (x) \geq g (x)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) A_{geom} = i \sum \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x

$5$ . Unabhängige Kontrolle: Eine Stammfunktion wird durch Ableiten, ein besonderer Punkt durch Einsetzen und ein Verlauf durch Vorzeichen geprüft.

F^{'} (x) = ? f (x) f (x_{E}) = ? y_{E} sgn (f^{'}) passt zum Verlauf

Eine vollständige Abgabe enthält: begründete Formelwahl, sauber eingesetzte Werte und Grenzen, Zwischenrechnung, Klassifikation beziehungsweise Flächendeutung sowie eine unabhängige Kontrolle.

Das lernst du

Ordne Ableitungs- und Integrationsformeln dem Aufgabenziel zu.
Verknüpfe Funktionswert und Ableitung zur Tangente.
Unterscheide bestimmtes Integral und geometrischen Flächeninhalt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Tangente und Integral

Für $f (x) = x^{3} - 2 x$ : Bestimme die Tangente bei $x_{0} = 1$ und $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .

1Ableitung und Punkt
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 f^{'} (1) = 1 f (1) = - 1$
2Tangente
$t (x) = - 1 + 1 (x - 1) = x - 2$
3Stammfunktion
$F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - x^{2}$
4Integral
$F (2) - F (0) = 4 - 4 = 0$

Ergebnis

$t (x) = x - 2, \int_{0}^{2} f (x) d x = 0$

Musteraufgabe 2

Mittel

Kettenregel erkennen

Leite $g (x) = (3 x - 1)^{4}$ ab.

1Äussere Funktion
$u^{4} \mapsto 4 u^{3}$
2Innere Ableitung
$(3 x - 1)^{'} = 3$
3Multiplizieren
$g^{'} (x) = 12 (3 x - 1)^{3}$

Ergebnis

$g^{'} (x) = 12 (3 x - 1)^{3}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Potenzregel

Leite $f (x) = 4 x^{3}$ ab. Welcher Koeffizient steht vor $x^{2}$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Bestimmtes Integral

Berechne $\int_{0}^{2} 3 x d x$ .

Aufgabe 3

Mittel

Tangentensteigung

Bestimme die Steigung der Tangente an $f (x) = x^{2} - 3 x$ im Punkt $x = 2$ .

Aufgabe 4

Mittel

Fläche unterhalb der Achse

f wechselt im Intervall das Vorzeichen. Wie erhältst du den geometrischen Flächeninhalt?

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Ketten- und Produktregel kombiniert

f (x) = x^{2} e^{- x}

a) Bestimme $f^{'} (x)$ .
b) Bestimme alle stationären Stellen.
c) Klassifiziere die Extrempunkte.
d) Begründe die Formelwahl und führe eine unabhängige Kontrolle durch, zum Beispiel durch Ableiten, Einsetzen oder eine qualitative Graphenprüfung.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Fläche zwischen zwei Graphen

$f (x) = x$ und $g (x) = x^{2}$ auf [ $0, 1$ ].

a) Bestimme Schnittstellen.
b) Stelle das Integral für die eingeschlossene Fläche auf.
c) Berechne den Flächeninhalt.
d) Begründe die Formelwahl und führe eine unabhängige Kontrolle durch, zum Beispiel durch Ableiten, Einsetzen oder eine qualitative Graphenprüfung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Rekonstruktion aus f′

Gegeben $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4$ und $f (1) = 2$ .

a) Bestimme $f (x)$ .
b) Kontrolliere $f (1) = 2$ .
c) Berechne $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .
d) Begründe die Formelwahl und führe eine unabhängige Kontrolle durch, zum Beispiel durch Ableiten, Einsetzen oder eine qualitative Graphenprüfung.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Formelwahl Analysis

Für $h (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ soll die Steigung bei $x = 1$ und die Fläche auf [ $0, 1$ ] bestimmt werden.

a) Begründe die Wahl der Quotientenregel.
b) Berechne $h^{'} (1)$ .
c) Berechne $\int_{0}^{1} h (x) d x$ .
d) Begründe die Formelwahl und führe eine unabhängige Kontrolle durch, zum Beispiel durch Ableiten, Einsetzen oder eine qualitative Graphenprüfung.

Analysisformeln auswählen und verknüpfen

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (f \circ g)^{'} = (f^{'} \circ g) g^{'}

t (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Bei Flächen musst du Nullstellen berücksichtigen und gegebenenfalls den Betrag beziehungsweise Teilintervalle verwenden.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Gesuchte Grösse zuordnen: Funktionswerte beschreiben Punkte, Ableitungen lokale Änderung und bestimmte Integrale eine aufsummierte Bilanz.

P (x_{0} ∣ f (x_{0})) m_{T} = f^{'} (x_{0}) Δ F = \int_{a}^{b} f (x) d x

$2$ . Ableitungsregel aus der Termstruktur wählen: Zerlege den Term in Faktoren, Quotient oder Verkettung und leite erst dann nach der passenden Regel ab.

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

$3$ . Besondere Stellen untersuchen: Löse die notwendige Gleichung und klassifiziere den Kandidaten mit einer weiteren Ableitung oder einem Vorzeichenwechsel.

f^{'} (x_{E}) = 0 f^{''} (x_{E}) ≷ 0 \Rightarrow T oder H

f^{''} (x_{W}) = 0 f^{'''} (x_{W}) \neq = 0 \Rightarrow W

$4$ . Integral oder Fläche berechnen: Bestimme Schnitt- und Nullstellen, lege obere und untere Funktion fest und teile bei Vorzeichenwechseln das Intervall.

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x f \overset{u}{¨} r f (x) \geq g (x)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) A_{geom} = i \sum \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x

$5$ . Unabhängige Kontrolle: Eine Stammfunktion wird durch Ableiten, ein besonderer Punkt durch Einsetzen und ein Verlauf durch Vorzeichen geprüft.

F^{'} (x) = ? f (x) f (x_{E}) = ? y_{E} sgn (f^{'}) passt zum Verlauf

Eine vollständige Abgabe enthält: begründete Formelwahl, sauber eingesetzte Werte und Grenzen, Zwischenrechnung, Klassifikation beziehungsweise Flächendeutung sowie eine unabhängige Kontrolle.

Das lernst du

Ordne Ableitungs- und Integrationsformeln dem Aufgabenziel zu.
Verknüpfe Funktionswert und Ableitung zur Tangente.
Unterscheide bestimmtes Integral und geometrischen Flächeninhalt.

Formelübersicht Analysis

Analysisformeln auswählen und verknüpfen

Das lernst du

Tangente und Integral

1Ableitung und Punkt

2Tangente

3Stammfunktion

4Integral

Kettenregel erkennen

1Äussere Funktion

2Innere Ableitung

3Multiplizieren

Potenzregel

Bestimmtes Integral

Tangentensteigung

Fläche unterhalb der Achse

Ketten- und Produktregel kombiniert

Fläche zwischen zwei Graphen

Rekonstruktion aus f′

Formelwahl Analysis

Formelübersicht Analysis

Analysisformeln auswählen und verknüpfen

Das lernst du

Tangente und Integral

1Ableitung und Punkt

2Tangente

3Stammfunktion

4Integral

Kettenregel erkennen

1Äussere Funktion

2Innere Ableitung

3Multiplizieren

Potenzregel

Bestimmtes Integral

Tangentensteigung

Fläche unterhalb der Achse

Ketten- und Produktregel kombiniert

Fläche zwischen zwei Graphen

Rekonstruktion aus f′

Formelwahl Analysis