Themenübersicht

Formelübersicht Geometrie

Die Formelübersicht sammelt Vektor-, Geraden- und Ebenenformeln für räumliche Berechnungen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Formeln der Vektor- und Raumgeometrie gezielt einsetzen

Geometrieformeln lassen sich nach dem gesuchten Beziehungstyp ordnen: Verbindung und Länge, Orthogonalität und Winkel, Lage und Schnitt sowie Abstand.

A B = B - A ∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

g : x = p + t v E : a x + b y + cz = d d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Vor einer Winkel- oder Abstandsformel musst du Richtungs- und Normalenvektoren korrekt identifizieren.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Objekte und Ergebnisart erkennen: Bestimme zuerst, ob ein Vektor, Punkt, Skalar, Winkel oder Abstand gesucht ist. Dadurch scheiden unpassende Formeln aus.

A B = B - A S \in R^{3} φ \in [0^{\circ}, 9 0^{\circ}] d \geq 0

$2$ . Richtungs- und Normalenvektoren gewinnen: Geraden liefern Richtungsvektoren; die Koeffizienten einer Koordinatenebene bilden einen Normalenvektor.

g : x = p + t v \Rightarrow v Richtung

E : a x + b y + cz = d \Rightarrow n = (a ∣ b ∣ c)

$3$ . Lage oder Schnitt berechnen: Setze die Geradenkoordinaten in die Ebene ein oder vergleiche bei zwei Geraden alle drei Koordinaten.

x_{g} (t) \in E \Rightarrow a t_{x} + b t_{y} + c t_{z} = d \Rightarrow t = t_{S}

p + s v = q + t w \Rightarrow (s, t) \Rightarrow S

$4$ . Winkel und Abstand bestimmen: Winkel beruhen auf dem Skalarprodukt; Abstände auf einem Lot beziehungsweise der Projektion auf den Normalenvektor.

cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

$5$ . Ergebnis geometrisch prüfen: Setze Schnittpunkte zurück ein und kontrolliere bei einem Lot das Verschwinden des Skalarprodukts.

S \in g \cap E P F \cdot v = 0 d \geq 0

Eine vollständige Abgabe enthält: geometrische Zuordnung, Formel mit benannten Vektoren, Rechnung, Ergebnis mit Einheit beziehungsweise Gradangabe und eine geometrische Probe.

Das lernst du

Ordne Längen-, Winkel-, Schnitt- und Abstandsformeln zu.
Lies Richtungs- und Normalenvektoren aus Gleichungen.
Kontrolliere Schnittpunkte durch Einsetzen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Abstand Punkt–Ebene

Bestimme den Abstand von $P (1∣2∣5)$ zu $E : 2 x - y + 2 z = 3$ .

1Normalenvektor
$n = (2∣ - 1∣2) ∣ n ∣ = 3$
2Zähler
$∣2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 5 - 3∣ = 7$
3Abstand
$d (P, E) = \frac{7}{3}$

Ergebnis

$d (P, E) = \frac{7}{3}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Winkel zweier Vektoren

Bestimme den Winkel zwischen $(1∣0∣0)$ und $(1∣ 3 ∣0)$ .

1Skalarprodukt
$1$
2Beträge
$1 und 2$
3Kosinus
$cos φ = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 6 0^{\circ}$

Ergebnis

$6 0^{\circ}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Vektorbetrag

Berechne $∣ (5∣12∣0) ∣$ .

Aufgabe 2

Einfach

Skalarprodukt

Berechne $(1∣2∣ - 1) \cdot (3∣0∣4)$ .

Aufgabe 3

Mittel

Normalenvektor ablesen

Für $E : 4 x + 3 y - z = 7$ : Wie gross ist die z-Komponente des Normalenvektors?

Aufgabe 4

Mittel

Gerade in Ebene einsetzen

Für $g : x = (1∣0∣0) + t (1∣2∣1)$ und $E : x + y + z = 6$ : Bestimme t.

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Abstände Punkt–Gerade und Punkt–Ebene

$P (2∣ - 1∣3)$ , Gerade g durch ( $0$ | $0$ | $0$ ) und Richtung ( $0$ | $1$ | $0$ ), Ebene E: $2 x - y + 2 z = 8$ .

a) Abstand $d (P, g)$ .
b) Abstand $d (P, E)$ .
c) Welcher Abstand ist grösser?
d) Begründe die Formelwahl über die geometrische Beziehung und überprüfe Ergebnisart, Dimension und Lage durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Winkel zwischen Ebenen

E₁: $x + y + z = 1$ , E₂: $x - y + z = 3$ .

a) Lies Normalenvektoren ab.
b) Berechne den Schnittwinkel der Ebenen.
c) Prüfe, ob die Ebenen orthogonal sind.
d) Begründe die Formelwahl über die geometrische Beziehung und überprüfe Ergebnisart, Dimension und Lage durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Lagebeziehung Gerade–Ebene

g: $x = (1∣2∣3) + t (2∣1∣ - 1)$ , E: $x + 2 y + 2 z = 11$ .

a) Untersuche, ob g in E liegt, parallel ist oder schneidet.
b) Falls Schnitt: bestimme S.
c) Begründe die verwendete Bedingung.
d) Begründe die Formelwahl über die geometrische Beziehung und überprüfe Ergebnisart, Dimension und Lage durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Formelwahl mit Begründung

Berechne den Winkel zwischen $a = (3∣0∣4)$ und $b = (1∣1∣0)$ .

a) Begründe, warum das Skalarprodukt verwendet wird.
b) Berechne den Winkel.
c) Prüfe mit orthogonalem Sonderfall: Winkel zu ( $4$ | $0$ |− $3$ ).
d) Begründe die Formelwahl über die geometrische Beziehung und überprüfe Ergebnisart, Dimension und Lage durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Formeln der Vektor- und Raumgeometrie gezielt einsetzen

Geometrieformeln lassen sich nach dem gesuchten Beziehungstyp ordnen: Verbindung und Länge, Orthogonalität und Winkel, Lage und Schnitt sowie Abstand.

A B = B - A ∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

g : x = p + t v E : a x + b y + cz = d d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Vor einer Winkel- oder Abstandsformel musst du Richtungs- und Normalenvektoren korrekt identifizieren.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Objekte und Ergebnisart erkennen: Bestimme zuerst, ob ein Vektor, Punkt, Skalar, Winkel oder Abstand gesucht ist. Dadurch scheiden unpassende Formeln aus.

A B = B - A S \in R^{3} φ \in [0^{\circ}, 9 0^{\circ}] d \geq 0

$2$ . Richtungs- und Normalenvektoren gewinnen: Geraden liefern Richtungsvektoren; die Koeffizienten einer Koordinatenebene bilden einen Normalenvektor.

g : x = p + t v \Rightarrow v Richtung

E : a x + b y + cz = d \Rightarrow n = (a ∣ b ∣ c)

$3$ . Lage oder Schnitt berechnen: Setze die Geradenkoordinaten in die Ebene ein oder vergleiche bei zwei Geraden alle drei Koordinaten.

x_{g} (t) \in E \Rightarrow a t_{x} + b t_{y} + c t_{z} = d \Rightarrow t = t_{S}

p + s v = q + t w \Rightarrow (s, t) \Rightarrow S

$4$ . Winkel und Abstand bestimmen: Winkel beruhen auf dem Skalarprodukt; Abstände auf einem Lot beziehungsweise der Projektion auf den Normalenvektor.

cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

$5$ . Ergebnis geometrisch prüfen: Setze Schnittpunkte zurück ein und kontrolliere bei einem Lot das Verschwinden des Skalarprodukts.

S \in g \cap E P F \cdot v = 0 d \geq 0

Eine vollständige Abgabe enthält: geometrische Zuordnung, Formel mit benannten Vektoren, Rechnung, Ergebnis mit Einheit beziehungsweise Gradangabe und eine geometrische Probe.

Das lernst du

Ordne Längen-, Winkel-, Schnitt- und Abstandsformeln zu.
Lies Richtungs- und Normalenvektoren aus Gleichungen.
Kontrolliere Schnittpunkte durch Einsetzen.

Formelübersicht Geometrie

Formeln der Vektor- und Raumgeometrie gezielt einsetzen

Das lernst du

Abstand Punkt–Ebene

1Normalenvektor

2Zähler

3Abstand

Winkel zweier Vektoren

1Skalarprodukt

2Beträge

3Kosinus

Vektorbetrag

Skalarprodukt

Normalenvektor ablesen

Gerade in Ebene einsetzen

Abstände Punkt–Gerade und Punkt–Ebene

Winkel zwischen Ebenen

Lagebeziehung Gerade–Ebene

Formelwahl mit Begründung

Formelübersicht Geometrie

Formeln der Vektor- und Raumgeometrie gezielt einsetzen

Das lernst du

Abstand Punkt–Ebene

1Normalenvektor

2Zähler

3Abstand

Winkel zweier Vektoren

1Skalarprodukt

2Beträge

3Kosinus

Vektorbetrag

Skalarprodukt

Normalenvektor ablesen

Gerade in Ebene einsetzen

Abstände Punkt–Gerade und Punkt–Ebene

Winkel zwischen Ebenen

Lagebeziehung Gerade–Ebene

Formelwahl mit Begründung