Themenübersicht

Formelübersicht Stochastik

Die Formelübersicht ordnet die wichtigsten Regeln für Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Tests.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Stochastikformeln vom Ereignis her auswählen

Beginne mit dem Ereignis und den Modellbedingungen. Bedingte Wahrscheinlichkeiten verkleinern den Bezugsraum; die Binomialverteilung zählt Treffer in unabhängigen Wiederholungen; die Normalverteilung arbeitet mit standardisierten Abständen.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p σ = n p (1 - p) z = \frac{x - μ}{σ}

Kumulative Formulierungen übersetzt du vor dem Rechnen: $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Ereignis mathematisch festlegen: Definiere X und schreibe die gesuchte Aussage als Menge beziehungsweise Ungleichung, bevor du eine Formel auswählst.

X = Trefferzahl A = {X = k} oder A = {X \geq k}

$2$ . Wahrscheinlichkeitsmodell auswählen: Ein Baum beschreibt aufeinanderfolgende Bedingungen; die Binomialverteilung eine Trefferzahl; die Normalverteilung kontinuierliche oder approximierte Werte.

P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)

X \sim B (n, p) Y \sim N (μ, σ)

$3$ . Parameter und Voraussetzungen prüfen: Berechne Kennwerte und prüfe vor einer Normalapproximation, ob beide erwarteten Randgruppen ausreichend gross sind.

μ = n p σ = n p (1 - p)

n p \geq 10 und n (1 - p) \geq 10

$4$ . Grenzen und Formel einsetzen: Übersetze mindestens und höchstens ohne Randfehler. Bei einer Normalapproximation verschiebt die Stetigkeitskorrektur die Grenze um $0, 5$ .

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

P (X \geq k) \approx P (Y \geq k - 0, 5) z = \frac{k - 0 , 5 - μ}{σ}

$5$ . Ergebnis prüfen und deuten: Die Wahrscheinlichkeit muss im Einheitsintervall liegen und ihre Grössenordnung zum Abstand vom Erwartungswert passen.

0 \leq P (A) \leq 1 ∣ x - μ ∣ = z σ

Eine vollständige Abgabe enthält: Ereignisdefinition, Modellbegründung, Parameter, korrekter Wahrscheinlichkeitsausdruck, Rechnung und eine auf die Fragestellung bezogene Deutung.

Das lernst du

Ordne bedingte, binomiale und normalverteilte Aufgaben der passenden Formel zu.
Berechne Trefferwahrscheinlichkeiten und Kennwerte.
Übersetze kumulative Ereignisse ohne Randfehler.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Binomialmodell vollständig auswerten

Für $X \sim B (5, 0, 4)$ : Bestimme $P (X = 2)$ , $E (X)$ und σ.

1Einzelwahrscheinlichkeit
$P (X = 2) = (2 5) 0, 4^{2} 0, 6^{3} = 0, 3456$
2Erwartungswert
$E (X) = 5 \cdot 0, 4 = 2$
3Standardabweichung
$σ = 5 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6 = 1, 2 \approx 1, 095$

Ergebnis

$P (X = 2) = 0, 3456, E (X) = 2, σ \approx 1, 095$

Musteraufgabe 2

Mittel

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es gilt $P (A \cap B) = 0, 12$ und $P (B) = 0, 30$ . Bestimme $P (A ∣ B)$ .

1Formel
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
2Einsetzen
$\frac{0 , 12}{0 , 30}$
3Resultat
$P (A ∣ B) = 0, 40$

Ergebnis

$40%$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Berechne $P (A ∣ B)$ für $P (A \cap B) = 0, 08$ und $P (B) = 0, 20$ .

Aufgabe 2

Einfach

Standardisieren

Berechne z für $x = 65$ , $μ = 50$ , $σ = 5$ .

Aufgabe 3

Mittel

Standardabweichung binomial

Für $X \sim B (100, 0, 09)$ : Berechne $σ$ (auf $2$ Dezimalen gerundet).

Aufgabe 4

Mittel

Gegenereignis

Welche Umformung ist für «mindestens k» bei ganzzahligem X korrekt?

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Binomial oder Normal?

$n = 400$ , $p = 0$ , $5$ . Gesucht: $P (X \geq 210)$ .

a) Prüfe, ob Normalapproximation sinnvoll ist.
b) Approximiere $P (X \geq 210)$ .
c) Nenne μ und σ.
d) Begründe Modell und Formelwahl, kontrolliere die Ereignisgrenzen und beurteile die Wahrscheinlichkeit anhand der Kennwerte auf Plausibilität.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Bernoulli-Kette vollständig

X \sim B (8, 0, 25)

a) $P (X = 2)$ .
b) $P (X \leq 1)$ .
c) $E (X)$ und Varianz.
d) Begründe Modell und Formelwahl, kontrolliere die Ereignisgrenzen und beurteile die Wahrscheinlichkeit anhand der Kennwerte auf Plausibilität.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Bayes und Binomial kombiniert

$P (D e f e k t) = 0$ , $03$ . Nach positivem Test (Sensitivität $0, 97$ , Falsch positiv $0, 05$ ): wie gross ist $P (X \geq 1 D e f e k t$ in $10$ Teilen)?

a) Bestimme $P (D e f e k t ∣ T es t +)$ mit Bayes.
b) Modelliere $10$ unabhängige Teile mit aktualisiertem p.
c) Berechne $P (min d es t e n se in D e f e k t)$ .
d) Begründe Modell und Formelwahl, kontrolliere die Ereignisgrenzen und beurteile die Wahrscheinlichkeit anhand der Kennwerte auf Plausibilität.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Konfidenzintervall deuten

$95 %$ -KI für Anteil: [ $0, 42$ ; $0, 58$ ], $n = 200$ .

a) Bestimme den Stichprobenanteil.
b) Interpretiere das Intervall in Worten.
c) Kann $p = 0$ , $50$ mit $95 %$ Konfidenz ausgeschlossen werden?
d) Begründe Modell und Formelwahl, kontrolliere die Ereignisgrenzen und beurteile die Wahrscheinlichkeit anhand der Kennwerte auf Plausibilität.

Stochastikformeln vom Ereignis her auswählen

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p σ = n p (1 - p) z = \frac{x - μ}{σ}

Kumulative Formulierungen übersetzt du vor dem Rechnen: $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Ereignis mathematisch festlegen: Definiere X und schreibe die gesuchte Aussage als Menge beziehungsweise Ungleichung, bevor du eine Formel auswählst.

X = Trefferzahl A = {X = k} oder A = {X \geq k}

P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)

X \sim B (n, p) Y \sim N (μ, σ)

$3$ . Parameter und Voraussetzungen prüfen: Berechne Kennwerte und prüfe vor einer Normalapproximation, ob beide erwarteten Randgruppen ausreichend gross sind.

μ = n p σ = n p (1 - p)

n p \geq 10 und n (1 - p) \geq 10

$4$ . Grenzen und Formel einsetzen: Übersetze mindestens und höchstens ohne Randfehler. Bei einer Normalapproximation verschiebt die Stetigkeitskorrektur die Grenze um $0, 5$ .

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

P (X \geq k) \approx P (Y \geq k - 0, 5) z = \frac{k - 0 , 5 - μ}{σ}

$5$ . Ergebnis prüfen und deuten: Die Wahrscheinlichkeit muss im Einheitsintervall liegen und ihre Grössenordnung zum Abstand vom Erwartungswert passen.

0 \leq P (A) \leq 1 ∣ x - μ ∣ = z σ

Eine vollständige Abgabe enthält: Ereignisdefinition, Modellbegründung, Parameter, korrekter Wahrscheinlichkeitsausdruck, Rechnung und eine auf die Fragestellung bezogene Deutung.

Das lernst du

Ordne bedingte, binomiale und normalverteilte Aufgaben der passenden Formel zu.
Berechne Trefferwahrscheinlichkeiten und Kennwerte.
Übersetze kumulative Ereignisse ohne Randfehler.

Formelübersicht Stochastik

Stochastikformeln vom Ereignis her auswählen

Das lernst du

Binomialmodell vollständig auswerten

1Einzelwahrscheinlichkeit

2Erwartungswert

3Standardabweichung

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Formel

2Einsetzen

3Resultat

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Standardisieren

Standardabweichung binomial

Gegenereignis

Binomial oder Normal?

Bernoulli-Kette vollständig

Bayes und Binomial kombiniert

Konfidenzintervall deuten

Formelübersicht Stochastik

Stochastikformeln vom Ereignis her auswählen

Das lernst du

Binomialmodell vollständig auswerten

1Einzelwahrscheinlichkeit

2Erwartungswert

3Standardabweichung

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Formel

2Einsetzen

3Resultat

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Standardisieren

Standardabweichung binomial

Gegenereignis

Binomial oder Normal?

Bernoulli-Kette vollständig

Bayes und Binomial kombiniert

Konfidenzintervall deuten