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Kurvendiskussion Schritt für Schritt

Eine feste Reihenfolge aus Definitionsmenge, Ableitungen und besonderen Punkten führt sicher zur vollständigen Kurvendiskussion.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Eine Kurvendiskussion vollständig und effizient durchführen

Eine Kurvendiskussion verbindet algebraische Rechnungen mit einer begründeten Graphenskizze. Beginne mit Definitionsbereich und Symmetrie, bestimme dann Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und fasse das Verhalten in Intervallen zusammen.

f (x) = 0 f^{'} (x) = 0 f^{''} (x) = 0

Nicht jede Gleichung liefert automatisch einen gesuchten Punkt: Klassifiziere Extremstellen über Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung und prüfe Wendestellen durch Krümmungswechsel beziehungsweise $f^{'''} (x_{W}) \neq = 0$ .

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Grunddaten bestimmen: Schliesse verbotene x-Werte aus, prüfe beide Symmetriearten und untersuche das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs.

D_{f} = {x \in R ∣ f (x) ist definiert}

f (- x) = f (x) \Rightarrow y -Achsensymmetrie f (- x) = - f (x) \Rightarrow Punktsymmetrie

x \to \pm \infty lim f (x) und gegebenenfalls x \to x_{P}^{\pm} lim f (x)

$2$ . Nullstellen berechnen: Setze den Funktionsterm gleich null, löse die Gleichung und berechne bei Bedarf die Vielfachheit der Faktoren.

f (x) = 0 \Rightarrow x = x_{N}

f (x) = (x - x_{N})^{k} g (x), g (x_{N}) \neq = 0 \Rightarrow k ist die Vielfachheit

$3$ . Ableitungen und Kandidaten: Bilde die benötigten Ableitungen. Nullstellen von f′ sind Extremstellenkandidaten, Nullstellen von f″ Wendestellenkandidaten.

f^{'} (x_{E}) = 0 \Rightarrow x_{E} ist Kandidat f \overset{u}{¨} r ein Extremum

f^{''} (x_{W}) = 0 \Rightarrow x_{W} ist Kandidat f \overset{u}{¨} r einen Wendepunkt

E = (x_{E} ∣ f (x_{E})) W = (x_{W} ∣ f (x_{W}))

$4$ . Klassifizieren und Intervalle angeben: Entscheide mit Ableitungswerten oder Vorzeichenwechseln und leite daraus Monotonie und Krümmung ab.

f^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow T f^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow H

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f streng steigend f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f streng fallend

f^{''} (x_{W}) = 0, f^{'''} (x_{W}) \neq = 0 \Rightarrow W

$5$ . Verlaufsskizze zusammensetzen: Trage Asymptoten und alle berechneten Punkte ein. Verbinde sie nur so, dass Monotonie, Krümmung und Randverhalten gleichzeitig erfüllt sind.

(D_{f}, N, H, T, W, A) \Rightarrow G_{f}

Eine vollständige Abgabe enthält: Rechenwege, koordinierte besondere Punkte, Intervalle, Asymptoten beziehungsweise Grenzwerte und eine dazu passende Graphenskizze.

Das lernst du

Ordne die Untersuchungsschritte in einer sinnvollen Reihenfolge.
Berechne und klassifiziere Null-, Extrem- und Wendestellen.
Erstelle aus den Ergebnissen eine konsistente Graphenskizze.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Vollständige Diskussion eines kubischen Polynoms

Untersuche $f (x) = x^{3} - 3 x$ auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.

1Symmetrie und Nullstellen
$f (- x) = - f (x) \Rightarrow Punktsymmetrie$ $x (x^{2} - 3) = 0 \Rightarrow x = - 3, 0, 3$
2Extrempunkte
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ $f^{''} (x) = 6 x \Rightarrow H (- 1∣2), T (1∣ - 2)$
3Wendepunkt
$f^{''} (x) = 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 f^{'''} (0) = 6 \neq = 0$ $W (0∣0)$
4Verlauf
f steigt für $x < - 1$ und $x > 1$ , dazwischen fällt f.

Ergebnis

Nullstellen bei $- 3, 0, 3$ ; Hochpunkt $H (- 1∣2)$ , Tiefpunkt $T (1∣ - 2)$ und Wendepunkt $W (0∣0)$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Prüfungsplan für x²e⁻ˣ

Untersuche $f (x) = x^{2} e^{- x}$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie Grenzverhalten.

1Grunddaten
$D = R$ , $f (x)$ ≥ $0$ und $x = 0$ ist eine doppelte Nullstelle. Für x→∞ gilt f→ $0$ , für x→−∞ gilt f→∞.
2Extrema
Faktorisiere die Ableitung; $e^{- x}$ ist stets positiv.
$f^{'} (x) = e^{- x} x (2 - x) \Rightarrow T (0 ∣ 0) H (2 ∣ 4 e^{- 2})$
3Wendepunkte
Setze den quadratischen Faktor der zweiten Ableitung null.
$f^{''} (x) = e^{- x} (x^{2} - 4 x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \pm 2$

Ergebnis

Die vollständige Untersuchung nutzt Faktorisierung, Vorzeichenwechsel und Grenzwerte; die Wendepunktordinaten entstehen durch Einsetzen von $2 \pm \sqrt2$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Positive Nullstelle

Bestimme die positive Nullstelle von $f (x) = x^{3} - 4 x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Extremstelle klassifizieren

Für $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ gilt $f^{'} (3) = 0$ und $f^{''} (3) = 2$ . Welche x-Koordinate hat der Extrempunkt?

Aufgabe 3

Mittel

Gerade Funktion untersuchen

Für $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ : Wie viele verschiedene reelle Nullstellen hat der Graph?

Aufgabe 4

Mittel

Definitionslücke oder Pol?

Die Funktion $f (x) = \frac{x - 1}{x - 1}$ ist für $x \neq = 1$ definiert. Was trifft für $x = 1$ zu?

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Kubische Funktion vollständig

f (x) = x^{3} - 6 x

a) Bestimme alle Nullstellen.
b) Untersuche Symmetrie und berechne Extrempunkte.
c) Bestimme den Wendepunkt und klassifiziere ihn.
d) Gib Monotonieintervalle an und skizziere den Graphen qualitativ.
e) Führe eine unabhängige Verlaufskontrolle durch: Stimmen Ableitungsvorzeichen, besondere Punkte und Randverhalten mit deiner Skizze überein?

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Gerade Polynomfunktion im Prüfungsablauf

f (x) = x^{4} - 4 x^{2}

a) Weise achsensymmetrische Struktur nach und bestimme Nullstellen.
b) Bestimme und klassifiziere alle Extrempunkte.
c) Bestimme alle Wendepunkte.
d) Fasse Monotonie und Grenzverhalten zusammen.
e) Führe eine unabhängige Verlaufskontrolle durch: Stimmen Ableitungsvorzeichen, besondere Punkte und Randverhalten mit deiner Skizze überein?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Gebrochenrationale Kurvendiskussion

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}

a) Definitionsbereich, Symmetrie und Nullstellen.
b) Grenzverhalten und waagrechte Asymptote.
c) Extrempunkte und Wendepunkte.
d) Monotonie und qualitative Skizze.
e) Führe eine unabhängige Verlaufskontrolle durch: Stimmen Ableitungsvorzeichen, besondere Punkte und Randverhalten mit deiner Skizze überein?

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Exponential-Polynom im Prüfungsformat

f (x) = x e^{- x}

a) Nullstelle und Grenzwerte für x→±∞.
b) Extrempunkt bestimmen und klassifizieren.
c) Wendepunkt bestimmen.
d) Monotonie und Krümmungsverhalten beschreiben.
e) Führe eine unabhängige Verlaufskontrolle durch: Stimmen Ableitungsvorzeichen, besondere Punkte und Randverhalten mit deiner Skizze überein?

Eine Kurvendiskussion vollständig und effizient durchführen

f (x) = 0 f^{'} (x) = 0 f^{''} (x) = 0

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Grunddaten bestimmen: Schliesse verbotene x-Werte aus, prüfe beide Symmetriearten und untersuche das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs.

D_{f} = {x \in R ∣ f (x) ist definiert}

f (- x) = f (x) \Rightarrow y -Achsensymmetrie f (- x) = - f (x) \Rightarrow Punktsymmetrie

x \to \pm \infty lim f (x) und gegebenenfalls x \to x_{P}^{\pm} lim f (x)

$2$ . Nullstellen berechnen: Setze den Funktionsterm gleich null, löse die Gleichung und berechne bei Bedarf die Vielfachheit der Faktoren.

f (x) = 0 \Rightarrow x = x_{N}

f (x) = (x - x_{N})^{k} g (x), g (x_{N}) \neq = 0 \Rightarrow k ist die Vielfachheit

$3$ . Ableitungen und Kandidaten: Bilde die benötigten Ableitungen. Nullstellen von f′ sind Extremstellenkandidaten, Nullstellen von f″ Wendestellenkandidaten.

f^{'} (x_{E}) = 0 \Rightarrow x_{E} ist Kandidat f \overset{u}{¨} r ein Extremum

f^{''} (x_{W}) = 0 \Rightarrow x_{W} ist Kandidat f \overset{u}{¨} r einen Wendepunkt

E = (x_{E} ∣ f (x_{E})) W = (x_{W} ∣ f (x_{W}))

$4$ . Klassifizieren und Intervalle angeben: Entscheide mit Ableitungswerten oder Vorzeichenwechseln und leite daraus Monotonie und Krümmung ab.

f^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow T f^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow H

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f streng steigend f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f streng fallend

f^{''} (x_{W}) = 0, f^{'''} (x_{W}) \neq = 0 \Rightarrow W

$5$ . Verlaufsskizze zusammensetzen: Trage Asymptoten und alle berechneten Punkte ein. Verbinde sie nur so, dass Monotonie, Krümmung und Randverhalten gleichzeitig erfüllt sind.

(D_{f}, N, H, T, W, A) \Rightarrow G_{f}

Eine vollständige Abgabe enthält: Rechenwege, koordinierte besondere Punkte, Intervalle, Asymptoten beziehungsweise Grenzwerte und eine dazu passende Graphenskizze.

Das lernst du

Ordne die Untersuchungsschritte in einer sinnvollen Reihenfolge.
Berechne und klassifiziere Null-, Extrem- und Wendestellen.
Erstelle aus den Ergebnissen eine konsistente Graphenskizze.

Kurvendiskussion Schritt für Schritt

Eine Kurvendiskussion vollständig und effizient durchführen

Das lernst du

Vollständige Diskussion eines kubischen Polynoms

1Symmetrie und Nullstellen

2Extrempunkte

3Wendepunkt

4Verlauf

Prüfungsplan für x²e⁻ˣ

1Grunddaten

2Extrema

3Wendepunkte

Positive Nullstelle

Extremstelle klassifizieren

Gerade Funktion untersuchen

Definitionslücke oder Pol?

Kubische Funktion vollständig

Gerade Polynomfunktion im Prüfungsablauf

Gebrochenrationale Kurvendiskussion

Exponential-Polynom im Prüfungsformat

Kurvendiskussion Schritt für Schritt

Eine Kurvendiskussion vollständig und effizient durchführen

Das lernst du

Vollständige Diskussion eines kubischen Polynoms

1Symmetrie und Nullstellen

2Extrempunkte

3Wendepunkt

4Verlauf

Prüfungsplan für x²e⁻ˣ

1Grunddaten

2Extrema

3Wendepunkte

Positive Nullstelle

Extremstelle klassifizieren

Gerade Funktion untersuchen

Definitionslücke oder Pol?

Kubische Funktion vollständig

Gerade Polynomfunktion im Prüfungsablauf

Gebrochenrationale Kurvendiskussion

Exponential-Polynom im Prüfungsformat