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Steckbriefaufgaben Schritt für Schritt

Gegebene Funktionswerte, Steigungen und weitere Bedingungen werden systematisch in Gleichungen für die unbekannten Parameter übersetzt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Aus Bedingungen eine Funktion rekonstruieren

Bei einer Steckbriefaufgabe übersetzt du geometrische Angaben in Gleichungen für unbekannte Koeffizienten. Wähle zuerst einen Ansatz mit genau so vielen freien Koeffizienten, wie unabhängige Bedingungen vorliegen.

P (x_{0} ∣ y_{0}) : f (x_{0}) = y_{0} Extremstelle x_{0} : f^{'} (x_{0}) = 0 Wendestelle x_{0} : f^{''} (x_{0}) = 0

Löse danach das lineare Gleichungssystem und prüfe jede ursprüngliche Bedingung am fertigen Term.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Ansatz wählen: Bei n unabhängigen Bedingungen brauchst du im Regelfall n freie Koeffizienten. Ein Polynom vom Grad $n - 1$ besitzt genau n Koeffizienten.

f (x) = a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

n Bedingungen ⟺ n unbekannte Koeffizienten

$2$ . Ableitungen vorbereiten: Leite den allgemeinen Ansatz ab, bevor du Bedingungen einsetzt. Dadurch ist sichtbar, welcher Koeffizient in welcher Bedingung vorkommt.

f^{'} (x) = (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + a_{1}

f^{''} (x) = (n - 1) (n - 2) a_{n - 1} x^{n - 3} + \dots

$3$ . Text in Gleichungen übersetzen: Punkte gehören in f, Steigungen in f′ und Krümmungsbedingungen in f″.

P (x_{0} ∣ y_{0}) \Rightarrow f (x_{0}) = y_{0}

m_{T} bei x_{0} \Rightarrow f^{'} (x_{0}) = m_{T}

x_{0} Extremstelle \Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0 x_{0} Wendestelle \Rightarrow f^{''} (x_{0}) = 0

$4$ . Gleichungssystem lösen: Ordne die Gleichungen nach den Koeffizienten und eliminiere Unbekannte schrittweise. Jeder neue Koeffizientenwert wird in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt.

A c = b c = (a_{n - 1}, \dots, a_{0})^{T}

G_{1} - G_{2} \Rightarrow eine Unbekannte weniger \Rightarrow \dots \Rightarrow c

$5$ . Vollständige Probe: Setze den fertigen Term in jede ursprüngliche Bedingung ein. Erst wenn alle Gleichheiten stimmen, ist die Funktion eindeutig bestätigt.

f (x_{0}) = ? y_{0} f^{'} (x_{1}) = ? m f^{''} (x_{2}) = ? 0

Eine vollständige Abgabe enthält: Ansatz, übersetzte Bedingungen, gelöstes Koeffizientensystem, Funktionsterm und eine Probe jeder einzelnen Ausgangsbedingung.

Das lernst du

Wähle einen Polynomansatz passender Ordnung.
Übersetze Punkte, Steigungen und besondere Stellen in Gleichungen.
Löse das Koeffizientensystem und kontrolliere alle Bedingungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratische Funktion durch drei Punkte

Bestimme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ durch $P (0∣1), Q (1∣2), R (2∣5)$ .

1Bedingungen einsetzen
$f (0) = c = 1$ $f (1) = a + b + c = 2 f (2) = 4 a + 2 b + c = 5$
2Mit c = 1 vereinfachen
$a + b = 1 4 a + 2 b = 4$
3System lösen
$2 a + 2 b = 2 4 a + 2 b = 4 \Rightarrow 2 a = 2 \Rightarrow a = 1, b = 0$
4Kontrolle
$f (x) = x^{2} + 1 f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 5$

Ergebnis

$f (x) = x^{2} + 1$

Musteraufgabe 2

Mittel

Parabel mit waagerechter Tangente

Bestimme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ und $f^{'} (1) = 0$ .

1Bedingungen übersetzen
Punktbedingungen gehören in f, die waagerechte Tangente in f′.
$c = 0 a + b + c = 1 2 a + b = 0$
2System lösen
Mit $c = 0$ und $b = - 2 a$ folgt $- a = 1$ .
$a = - 1 b = 2 c = 0$
3Kontrolle
$f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ und $f^{'} (1) = - 2 + 2 = 0$ sind erfüllt.
$f (x) = - x^{2} + 2 x$

Ergebnis

Die gesuchte Parabel lautet $f (x) = - x^{2} + 2 x$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

y-Achsenabschnitt

Für $f (x) = a x^{2} + b x + c$ gilt $f (0) = - 3$ . Bestimme c.

Aufgabe 2

Einfach

Waagerechte Tangente

An der Stelle $x = 2$ soll der Graph eine waagerechte Tangente besitzen. Welche Gleichung gehört in f′?

Aufgabe 3

Mittel

Parabel durch drei Punkte

Eine Parabel $f (x) = a x^{2} + b x + c$ verläuft durch $(0∣2)$ und $(2∣6)$ . Zusätzlich gilt $f^{'} (1) = 4$ . Bestimme a.

Aufgabe 4

Mittel

Wendestelle vorgegeben

Für $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ liegt eine Wendestelle bei $x = - 1$ . Bestimme a.

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Kubische Funktion aus vier Bedingungen

Gesucht ist $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ mit vier unabhängigen Bedingungen.

a) Übersetze $f (0) = 0$ , $f (1) = 2$ , $f^{'} (1) = 3$ und $f^{''} (0) = - 2$ in Gleichungen.
b) Löse das System für a, b, c, d.
c) Prüfe alle vier Bedingungen am fertigen Term.
d) Prüfe die gefundene Funktion an jeder Ausgangsbedingung und begründe, ob die gewählte Polynomordnung minimal und das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Parabel mit waagerechter Tangente

f (x) = a x^{2} + b x + c

a) Formuliere Gleichungen für $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ und eine waagerechte Tangente bei $x = 1$ .
b) Bestimme a, b, c.
c) Gib die Funktionsgleichung und den Extrempunkt an.
d) Prüfe die gefundene Funktion an jeder Ausgangsbedingung und begründe, ob die gewählte Polynomordnung minimal und das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Wendestelle und Integralbedingung

Für $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ gelten eine Wendestelle bei $x = 1$ und $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{7}{12}$ .

a) Bestimme a aus der Wendebedingung.
b) Bestimme b aus der Integralbedingung.
c) Kontrolliere beide Bedingungen.
d) Prüfe die gefundene Funktion an jeder Ausgangsbedingung und begründe, ob die gewählte Polynomordnung minimal und das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Ansatzwahl quadratisch oder kubisch

Gesucht ist f mit $f (- 1) = 0$ , $f (1) = 6$ , $f^{'} (0) = 2$ und $f^{''} (0) = 6$ .

a) Begründe, warum ein quadratischer Ansatz nicht genügt.
b) Wähle einen kubischen Ansatz und stelle das Gleichungssystem auf.
c) Löse das System und gib $f (x)$ an.
d) Prüfe die gefundene Funktion an jeder Ausgangsbedingung und begründe, ob die gewählte Polynomordnung minimal und das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Aus Bedingungen eine Funktion rekonstruieren

P (x_{0} ∣ y_{0}) : f (x_{0}) = y_{0} Extremstelle x_{0} : f^{'} (x_{0}) = 0 Wendestelle x_{0} : f^{''} (x_{0}) = 0

Löse danach das lineare Gleichungssystem und prüfe jede ursprüngliche Bedingung am fertigen Term.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Ansatz wählen: Bei n unabhängigen Bedingungen brauchst du im Regelfall n freie Koeffizienten. Ein Polynom vom Grad $n - 1$ besitzt genau n Koeffizienten.

f (x) = a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

n Bedingungen ⟺ n unbekannte Koeffizienten

$2$ . Ableitungen vorbereiten: Leite den allgemeinen Ansatz ab, bevor du Bedingungen einsetzt. Dadurch ist sichtbar, welcher Koeffizient in welcher Bedingung vorkommt.

f^{'} (x) = (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + a_{1}

f^{''} (x) = (n - 1) (n - 2) a_{n - 1} x^{n - 3} + \dots

$3$ . Text in Gleichungen übersetzen: Punkte gehören in f, Steigungen in f′ und Krümmungsbedingungen in f″.

P (x_{0} ∣ y_{0}) \Rightarrow f (x_{0}) = y_{0}

m_{T} bei x_{0} \Rightarrow f^{'} (x_{0}) = m_{T}

x_{0} Extremstelle \Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0 x_{0} Wendestelle \Rightarrow f^{''} (x_{0}) = 0

$4$ . Gleichungssystem lösen: Ordne die Gleichungen nach den Koeffizienten und eliminiere Unbekannte schrittweise. Jeder neue Koeffizientenwert wird in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt.

A c = b c = (a_{n - 1}, \dots, a_{0})^{T}

G_{1} - G_{2} \Rightarrow eine Unbekannte weniger \Rightarrow \dots \Rightarrow c

$5$ . Vollständige Probe: Setze den fertigen Term in jede ursprüngliche Bedingung ein. Erst wenn alle Gleichheiten stimmen, ist die Funktion eindeutig bestätigt.

f (x_{0}) = ? y_{0} f^{'} (x_{1}) = ? m f^{''} (x_{2}) = ? 0

Eine vollständige Abgabe enthält: Ansatz, übersetzte Bedingungen, gelöstes Koeffizientensystem, Funktionsterm und eine Probe jeder einzelnen Ausgangsbedingung.

Das lernst du

Wähle einen Polynomansatz passender Ordnung.
Übersetze Punkte, Steigungen und besondere Stellen in Gleichungen.
Löse das Koeffizientensystem und kontrolliere alle Bedingungen.

Steckbriefaufgaben Schritt für Schritt

Aus Bedingungen eine Funktion rekonstruieren

Das lernst du

Quadratische Funktion durch drei Punkte

1Bedingungen einsetzen

2Mit c = 1 vereinfachen

3System lösen

4Kontrolle

Parabel mit waagerechter Tangente

1Bedingungen übersetzen

2System lösen

3Kontrolle

y-Achsenabschnitt

Waagerechte Tangente

Parabel durch drei Punkte

Wendestelle vorgegeben

Kubische Funktion aus vier Bedingungen

Parabel mit waagerechter Tangente

Wendestelle und Integralbedingung

Ansatzwahl quadratisch oder kubisch

Steckbriefaufgaben Schritt für Schritt

Aus Bedingungen eine Funktion rekonstruieren

Das lernst du

Quadratische Funktion durch drei Punkte

1Bedingungen einsetzen

2Mit c = 1 vereinfachen

3System lösen

4Kontrolle

Parabel mit waagerechter Tangente

1Bedingungen übersetzen

2System lösen

3Kontrolle

y-Achsenabschnitt

Waagerechte Tangente

Parabel durch drei Punkte

Wendestelle vorgegeben

Kubische Funktion aus vier Bedingungen

Parabel mit waagerechter Tangente

Wendestelle und Integralbedingung

Ansatzwahl quadratisch oder kubisch