Themenübersicht

Stochastikaufgaben Schritt für Schritt

Stochastikaufgaben werden vom Ereignis über das passende Modell bis zur Interpretation der Wahrscheinlichkeit aufgebaut.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Stochastikaufgaben vom Text zum Modell lösen

Markiere Zufallsvariable, Stichprobengrösse, Erfolgswahrscheinlichkeit und die sprachliche Bedingung. Entscheide danach zwischen Baumdiagramm, bedingter Wahrscheinlichkeit, Binomial- oder Normalmodell.

X \sim B (n, p) P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Übersetze Signalwörter exakt: «höchstens k» bedeutet $X \leq k$ , «mindestens k» bedeutet $X \geq k$ und wird oft über das Gegenereignis berechnet.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Zufallsvariable und Ereignis definieren: Lege fest, was X zählt, und übersetze die gesuchte Aussage zuerst in ein mathematisches Ereignis.

X = Anzahl der Treffer in n Versuchen

A = {X \geq k} oder A = {X = k}

$2$ . Modell prüfen: Für ein Binomialmodell müssen die Versuche unabhängig sein, genau zwei Ausgänge besitzen und dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit haben.

X \sim B (n, p) n fest p konstant

$3$ . Sprachliche Grenzen übersetzen: Achte darauf, ob der Randwert enthalten ist. Beim Gegenereignis verschiebt sich die Grenze um eins.

h \overset{o}{¨} chstens k : X \leq k mindestens k : X \geq k

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

$4$ . Rechenweg auswählen: Verwende für Einzelwerte die Binomialformel, für bedingte Wahrscheinlichkeiten den Bezugsraum und für grosse n gegebenenfalls eine begründete Approximation.

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} z = \frac{x - μ}{σ}

$5$ . Plausibilisieren und deuten: Kontrolliere den Wertebereich, runde erst am Ende und übersetze die Zahl zurück in die Situation.

0 \leq P (A) \leq 1 E (X) = n p σ = n p (1 - p)

Eine vollständige Abgabe enthält: definierte Zufallsvariable, geprüftes Modell, symbolisches Ereignis, Formelansatz, Rechnung, Rundung und ein interpretierender Antwortsatz.

Das lernst du

Identifiziere Zufallsvariable und passendes Wahrscheinlichkeitsmodell.
Übersetze sprachliche Grenzen in korrekte Ereignisse.
Berechne und deute Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert oder Testentscheid.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Mindestens ein Treffer

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $0, 3$ fehlerhaft. Zehn unabhängige Teile werden geprüft. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein fehlerhaftes Teil und die erwartete Anzahl fehlerhafter Teile.

1Modell
$X \sim B (10, 0, 3)$
2Gegenereignis
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 7^{10}$
3Wahrscheinlichkeit
$P (X \geq 1) \approx 0, 9718$
4Erwartungswert
$E (X) = n p = 10 \cdot 0, 3 = 3$

Ergebnis

Mit etwa $97, 18 %$ tritt mindestens ein Fehler auf; erwartet werden $3$ fehlerhafte Teile.

Musteraufgabe 2

Mittel

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es gilt $P (A \cap B) = 0, 18$ und $P (B) = 0, 30$ . Bestimme $P (A ∣ B)$ .

1Formel
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
2Einsetzen
$\frac{0 , 18}{0 , 30}$
3Resultat
$P (A ∣ B) = 0, 60$

Ergebnis

$60%$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Erwartungswert

Für $X \sim B (20, 0, 25)$ : Bestimme $E (X)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Signalwort übersetzen

Welche Ungleichung beschreibt «mehr als $5$ Treffer» für eine ganzzahlige Zufallsvariable X?

Aufgabe 3

Mittel

Genau k Treffer

Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Bestimme $P (X = 3)$ für die Anzahl Köpfe X.

Aufgabe 4

Mittel

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es gilt $P (A \cap B) = 0, 12$ und $P (B) = 0, 40$ . Berechne $P (A ∣ B)$ .

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Baumdiagramm und Bayes

$2 %$ der Teile sind defekt. Test erkennt Defekte zu $95 %$ , liefert bei intakten Teilen $4 %$ Fehlalarm.

a) Zeichne ein Baumdiagramm und markiere alle Pfade.
b) Berechne P positiver Test).
c) Berechne $P (d e f e k t ∣ p os i t i v er T es t)$ .
d) Prüfe Modellannahmen, Ereignisgrenzen und Plausibilität und deute das Ergebnis in einem vollständigen Antwortsatz.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Binomialmodell mehrstufig

X \sim B (12, 0, 3)

a) Berechne $P (X = 4)$ .
b) Berechne $P (X \geq 2)$ über das Gegenereignis.
c) Bestimme $E (X)$ und σ.
d) Prüfe Modellannahmen, Ereignisgrenzen und Plausibilität und deute das Ergebnis in einem vollständigen Antwortsatz.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Normalapproximation

X~ $B (400, 0, 5)$ . Approximiere $P (X \geq 220)$ mit Normalverteilung und Stetigkeitskorrektur.

a) Berechne μ und σ.
b) Standardisiere $219, 5$ und bestimme die Wahrscheinlichkeit.
c) Interpretiere das Ergebnis im Kontext «mindestens $220$ Treffer».
d) Prüfe Modellannahmen, Ereignisgrenzen und Plausibilität und deute das Ergebnis in einem vollständigen Antwortsatz.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Hypothesentest

H₀: $p = 0$ , $1$ gegen H₁: p> $0, 1$ . $n = 50$ , $9$ Treffer, α= $5 %$ .

a) Formuliere das Testmodell und die Nullhypothese.
b) Entscheide mit $P (X \geq 9)$ bei $p = 0$ , $1$ .
c) Nenne den Fehler $1$ . Art und seine Bedeutung.
d) Prüfe Modellannahmen, Ereignisgrenzen und Plausibilität und deute das Ergebnis in einem vollständigen Antwortsatz.

Stochastikaufgaben vom Text zum Modell lösen

X \sim B (n, p) P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Übersetze Signalwörter exakt: «höchstens k» bedeutet $X \leq k$ , «mindestens k» bedeutet $X \geq k$ und wird oft über das Gegenereignis berechnet.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Zufallsvariable und Ereignis definieren: Lege fest, was X zählt, und übersetze die gesuchte Aussage zuerst in ein mathematisches Ereignis.

X = Anzahl der Treffer in n Versuchen

A = {X \geq k} oder A = {X = k}

$2$ . Modell prüfen: Für ein Binomialmodell müssen die Versuche unabhängig sein, genau zwei Ausgänge besitzen und dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit haben.

X \sim B (n, p) n fest p konstant

$3$ . Sprachliche Grenzen übersetzen: Achte darauf, ob der Randwert enthalten ist. Beim Gegenereignis verschiebt sich die Grenze um eins.

h \overset{o}{¨} chstens k : X \leq k mindestens k : X \geq k

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

$4$ . Rechenweg auswählen: Verwende für Einzelwerte die Binomialformel, für bedingte Wahrscheinlichkeiten den Bezugsraum und für grosse n gegebenenfalls eine begründete Approximation.

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} z = \frac{x - μ}{σ}

$5$ . Plausibilisieren und deuten: Kontrolliere den Wertebereich, runde erst am Ende und übersetze die Zahl zurück in die Situation.

0 \leq P (A) \leq 1 E (X) = n p σ = n p (1 - p)

Eine vollständige Abgabe enthält: definierte Zufallsvariable, geprüftes Modell, symbolisches Ereignis, Formelansatz, Rechnung, Rundung und ein interpretierender Antwortsatz.

Das lernst du

Identifiziere Zufallsvariable und passendes Wahrscheinlichkeitsmodell.
Übersetze sprachliche Grenzen in korrekte Ereignisse.
Berechne und deute Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert oder Testentscheid.

Stochastikaufgaben Schritt für Schritt

Stochastikaufgaben vom Text zum Modell lösen

Das lernst du

Mindestens ein Treffer

1Modell

2Gegenereignis

3Wahrscheinlichkeit

4Erwartungswert

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Formel

2Einsetzen

3Resultat

Erwartungswert

Signalwort übersetzen

Genau k Treffer

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm und Bayes

Binomialmodell mehrstufig

Normalapproximation

Hypothesentest

Stochastikaufgaben Schritt für Schritt

Stochastikaufgaben vom Text zum Modell lösen

Das lernst du

Mindestens ein Treffer

1Modell

2Gegenereignis

3Wahrscheinlichkeit

4Erwartungswert

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Formel

2Einsetzen

3Resultat

Erwartungswert

Signalwort übersetzen

Genau k Treffer

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm und Bayes

Binomialmodell mehrstufig

Normalapproximation

Hypothesentest