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Vektoraufgaben Schritt für Schritt

Vektoraufgaben verbinden Punkte, Richtungen und Ebenen zu einer nachvollziehbaren Rechnung im Raum.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Vektoraufgaben strukturiert lösen

Vektoraufgaben werden übersichtlich, wenn du zuerst die Objekte und gesuchten Beziehungen notierst: Punkte liefern Orts- und Verbindungsvektoren, Geraden Stütz- und Richtungsvektoren, Ebenen Spann- oder Normalenvektoren.

A B = O B - O A g : x = p + t v E : n \cdot (x - p) = 0

Für Schnittprobleme setzt du Darstellungen gleich oder ineinander ein; für Winkel und Abstände brauchst du Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder Normalenvektor.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Objekte in Vektorform notieren: Bilde aus Punkten Verbindungsvektoren und lies aus Geraden beziehungsweise Ebenen die Richtungs- und Normalenvektoren ab.

A B = b - a

g : x = p + t v E : n \cdot (x - a) = 0

$2$ . Passendes Lagekriterium wählen: Je nach Frage werden Darstellungen gleichgesetzt, Punkte eingesetzt oder Vektoren auf Parallelität beziehungsweise Orthogonalität geprüft.

g \cap h : p + s v = q + t w

v = λ w \Rightarrow parallel v \cdot w = 0 \Rightarrow orthogonal

$3$ . Parameter vollständig lösen: Vergleiche alle drei Koordinaten. Ein einzelner Parameterwert ist nur gültig, wenn er jede Gleichung gleichzeitig erfüllt.

⎩ ⎨ ⎧ p_{1} + s v_{1} = q_{1} + t w_{1} p_{2} + s v_{2} = q_{2} + t w_{2} p_{3} + s v_{3} = q_{3} + t w_{3} \Rightarrow (s, t)

$4$ . Geometrische Grösse berechnen: Setze Parameter zurück in die Darstellung oder verwende die passende Winkel- beziehungsweise Abstandsformel.

S = p + t_{S} v

cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣} d (P, E) = \frac{∣ n \cdot ( p - a ) ∣}{∣ n ∣}

$5$ . Geometrische Probe: Prüfe den Punkt in allen beteiligten Objekten und kontrolliere bei Lot- und Winkelproblemen das Skalarprodukt.

S \in g und S \in E P F \cdot v = 0

Eine vollständige Abgabe enthält: passende Vektordarstellung, Entscheidungskriterium, nachvollziehbare Rechnung, geometrisch korrekt benanntes Ergebnis und eine Probe.

Das lernst du

Übersetze die Geometrie in passende Vektordarstellungen.
Löse Schnitt-, Lage-, Winkel- und Abstandsfragen mit der richtigen Bedingung.
Prüfe das Resultat durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Gerade mit Ebene schneiden

Bestimme den Schnittpunkt von $g : x = (1∣0∣2) + t (2∣1∣ - 1)$ und $E : x + y + z = 5$ .

1Geradenkoordinaten
$x = 1 + 2 t y = t z = 2 - t$
2In die Ebene einsetzen
$1 + 2 t + t + 2 - t = 5$
3Parameter
$3 + 2 t = 5 \Rightarrow t = 1$
4Schnittpunkt und Probe
$S = (3∣1∣1) 3 + 1 + 1 = 5$

Ergebnis

$S (3∣1∣1)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Winkel zweier Richtungen

Bestimme den Winkel zwischen $a = (1∣0∣0)$ und $b = (1∣1∣0)$ .

1Skalarprodukt
$a \cdot b = 1$
2Beträge
$∣ a ∣ = 1 ∣ b ∣ = 2$
3Winkel
$φ = arccos (\frac{1}{2}) = 4 5^{\circ}$

Ergebnis

$φ = 4 5^{\circ}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Verbindungsvektor

Bestimme die x-Komponente von $A B$ für $A (1∣4∣0)$ und $B (6∣2∣3)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Orthogonalität prüfen

Welche Bedingung zeigt, dass $a$ und $b$ senkrecht sind?

Aufgabe 3

Mittel

Gerade und Ebene

Die Gerade $g : x = (0∣1∣2) + t (1∣1∣1)$ schneidet die Ebene $E : 2 x - y + z = 4$ . Bestimme t.

Aufgabe 4

Mittel

Abstand Punkt–Ebene

Bestimme den Abstand von $P (2∣1∣4)$ zur Ebene $E : z = 2$ .

Aufgabe 5

Anspruchsvoll

Lage zweier Geraden

Gegeben: $g : x = (1∣0∣2) + s (2∣1∣ - 1)$ und $h : x = (3∣1∣2) + t (2∣1∣ - 1)$ .

a) Prüfe, ob die Richtungsvektoren parallel sind.
b) Untersuche, ob sich die Geraden schneiden oder identisch sind.
c) Gib die Lagebeziehung präzise an.
d) Kontrolliere dein Ergebnis algebraisch und geometrisch und benenne die Lagebeziehung beziehungsweise Bedeutung des Resultats vollständig.

Aufgabe 6

Anspruchsvoll

Ebene durch drei Punkte

Punkte $A (1∣0∣0), B (0∣2∣0), C (0∣0∣3)$ .

a) Bestimme zwei Spannvektoren und eine Normalenform.
b) Gib die Koordinatenform der Ebene E an.
c) Berechne den Abstand von $P (0∣0∣0)$ zu E.
d) Kontrolliere dein Ergebnis algebraisch und geometrisch und benenne die Lagebeziehung beziehungsweise Bedeutung des Resultats vollständig.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Schnittwinkel Gerade–Ebene

Gerade $g : x = (0∣0∣0) + t (1∣1∣1)$ , Ebene $E : x + y + z = 6$ .

a) Bestimme den Schnittpunkt S.
b) Berechne den Schnittwinkel zwischen g und E.
c) Prüfe den Schnittpunkt durch Einsetzen.
d) Kontrolliere dein Ergebnis algebraisch und geometrisch und benenne die Lagebeziehung beziehungsweise Bedeutung des Resultats vollständig.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Lotfußpunkt und Dreiecksfläche

Punkt $P (3∣1∣2)$ , Gerade $g : x = (1∣0∣0) + t (0∣1∣1)$ .

a) Bestimme den Lotfußpunkt F von P auf g.
b) Berechne den Abstand $d (P, g)$ .
c) Für $Q (1∣2∣3)$ : Fläche des Dreiecks PQR mit $R (1∣0∣0)$ auf g.
d) Kontrolliere dein Ergebnis algebraisch und geometrisch und benenne die Lagebeziehung beziehungsweise Bedeutung des Resultats vollständig.

Vektoraufgaben strukturiert lösen

A B = O B - O A g : x = p + t v E : n \cdot (x - p) = 0

Für Schnittprobleme setzt du Darstellungen gleich oder ineinander ein; für Winkel und Abstände brauchst du Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder Normalenvektor.

Prüfungsablauf: Die folgenden Schritte bilden eine zusammenhängende Rechnung. Schreibe jeweils zuerst den mathematischen Ansatz und setze danach die Werte ein.

$1$ . Objekte in Vektorform notieren: Bilde aus Punkten Verbindungsvektoren und lies aus Geraden beziehungsweise Ebenen die Richtungs- und Normalenvektoren ab.

A B = b - a

g : x = p + t v E : n \cdot (x - a) = 0

$2$ . Passendes Lagekriterium wählen: Je nach Frage werden Darstellungen gleichgesetzt, Punkte eingesetzt oder Vektoren auf Parallelität beziehungsweise Orthogonalität geprüft.

g \cap h : p + s v = q + t w

v = λ w \Rightarrow parallel v \cdot w = 0 \Rightarrow orthogonal

$3$ . Parameter vollständig lösen: Vergleiche alle drei Koordinaten. Ein einzelner Parameterwert ist nur gültig, wenn er jede Gleichung gleichzeitig erfüllt.

⎩ ⎨ ⎧ p_{1} + s v_{1} = q_{1} + t w_{1} p_{2} + s v_{2} = q_{2} + t w_{2} p_{3} + s v_{3} = q_{3} + t w_{3} \Rightarrow (s, t)

$4$ . Geometrische Grösse berechnen: Setze Parameter zurück in die Darstellung oder verwende die passende Winkel- beziehungsweise Abstandsformel.

S = p + t_{S} v

cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣} d (P, E) = \frac{∣ n \cdot ( p - a ) ∣}{∣ n ∣}

$5$ . Geometrische Probe: Prüfe den Punkt in allen beteiligten Objekten und kontrolliere bei Lot- und Winkelproblemen das Skalarprodukt.

S \in g und S \in E P F \cdot v = 0

Eine vollständige Abgabe enthält: passende Vektordarstellung, Entscheidungskriterium, nachvollziehbare Rechnung, geometrisch korrekt benanntes Ergebnis und eine Probe.

Das lernst du

Übersetze die Geometrie in passende Vektordarstellungen.
Löse Schnitt-, Lage-, Winkel- und Abstandsfragen mit der richtigen Bedingung.
Prüfe das Resultat durch Einsetzen oder Orthogonalität.

Vektoraufgaben Schritt für Schritt

Vektoraufgaben strukturiert lösen

Das lernst du

Gerade mit Ebene schneiden

1Geradenkoordinaten

2In die Ebene einsetzen

3Parameter

4Schnittpunkt und Probe

Winkel zweier Richtungen

1Skalarprodukt

2Beträge

3Winkel

Verbindungsvektor

Orthogonalität prüfen

Gerade und Ebene

Abstand Punkt–Ebene

Lage zweier Geraden

Ebene durch drei Punkte

Schnittwinkel Gerade–Ebene

Lotfußpunkt und Dreiecksfläche

Vektoraufgaben Schritt für Schritt

Vektoraufgaben strukturiert lösen

Das lernst du

Gerade mit Ebene schneiden

1Geradenkoordinaten

2In die Ebene einsetzen

3Parameter

4Schnittpunkt und Probe

Winkel zweier Richtungen

1Skalarprodukt

2Beträge

3Winkel

Verbindungsvektor

Orthogonalität prüfen

Gerade und Ebene

Abstand Punkt–Ebene

Lage zweier Geraden

Ebene durch drei Punkte

Schnittwinkel Gerade–Ebene

Lotfußpunkt und Dreiecksfläche