Musteraufgabe 1
EinfachFehlende Seite
Ein Dreieck mit Seiten , , wird mit Faktor vergrössert. Bestimme die Bildseiten.
1Jede Länge skalieren
Ergebnis
Die Bildseiten sind , und .
Themenübersicht
Ähnliche Figuren besitzen gleiche Winkel und proportional lange entsprechende Seiten.
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Theorie verstehen
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form: entsprechende Winkel sind gleich und entsprechende Seiten stehen im selben Verhältnis. Der Ähnlichkeitsfaktor beschreibt die Vergrösserung oder Verkleinerung.
Längen ändern sich mit , Flächen mit . Bei Dreiecken genügen etwa zwei übereinstimmende Winkel, weil der dritte dadurch ebenfalls gleich ist.
Lernschritt
Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEin Dreieck mit Seiten , , wird mit Faktor vergrössert. Bestimme die Bildseiten.
Ergebnis
Die Bildseiten sind , und .
Musteraufgabe 2
MittelEine Figur wird mit vergrössert. Wie ändert sich ihre Fläche?
Ja, das stimmt. Wenn eine Figur mit dem Längenfaktor vergrössert wird, werden alle Längen dreimal so gross. Für die Fläche wirken aber zwei Dimensionen:
Also ist der Flächenfaktor
Die Fläche wird somit neunmal so gross. Beispiel: Ein Quadrat mit Seitenlänge hat . Mit wird es × gross; .
Ergebnis
Die Fläche wird neunmal so gross.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachEine Seite wächst von auf . Bestimme k.
Aufgabe 2
EinfachBei , ist eine Originalseite lang. Bestimme die Bildseite.
Aufgabe 3
EinfachBei ,: Mit welchem Faktor ändert sich die Fläche?
Aufgabe 4
EinfachWann sind zwei Dreiecke sicher ähnlich?
Aufgabe 5
MittelEin Modell ist im Maßstab gebaut. Eine Strecke misst am Modell . Wie lang ist sie in Wirklichkeit in Metern?
Aufgabe 6
MittelEin Dreieck mit Seiten , und wird so vergrößert, dass die längste Seite misst. Wie lang wird die Seite, die vorher lang war?
Aufgabe 7
AnspruchsvollEin langer Messstab wirft einen langen Schatten. Gleichzeitig wirft ein Baum einen langen Schatten. Danach werden zuerst der Baumhöhe entfernt; anschliessend gehen nochmals der verbleibenden Höhe verloren. Wie hoch ist der Baum danach?
Aufgabe 8
AnspruchsvollZwei ähnliche Werbeschilder haben die Flächen und . Der Umfang des kleineren Schildes beträgt . Wie gross ist der Umfang des grösseren Schildes?