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Antiproportionale Zuordnungen

Bei antiproportionalen Zuordnungen bleibt das Produkt zweier zusammengehöriger Werte gleich.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Antiproportionale Zuordnungen

Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird die eine Grösse kleiner, wenn die andere im gleichen Faktor grösser wird. Verdoppelt sich $x$ , halbiert sich $y$ . Das Produkt der zugeordneten Werte bleibt konstant.

x \cdot y = k y = \frac{k}{x}

Anschauliches Beispiel: Für eine feste Arbeit brauchen $6$ Personen $10$ Stunden. Arbeiten $12$ gleich schnelle Personen daran, dauert es nur noch $5$ Stunden: $6 \cdot 10 = 12 \cdot 5 = 60$ Personenstunden. Mehr Personen bedeuten also weniger Zeit, weil die Arbeitsmenge fest bleibt. Der Graph ist deshalb eine fallende Kurve und keine Gerade. Er schneidet die Achsen nicht, weil das Produkt immer $k > 0$ bleibt.

Das lernst du

Prüfe mehrere Wertepaare auf ein konstantes Produkt.
Bestimme die Produktkonstante k und verwende y = k/x.
Berechne fehlende Werte und kontrolliere, ob ein grösserer x-Wert zu einem kleineren y-Wert führt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Arbeit auf Personen verteilen

$6$ Personen benötigen für eine Arbeit $10$ Stunden. Wie lange benötigen $15$ gleich schnelle Personen?

1Arbeitsmenge bestimmen
$k = 6 \cdot 10 = 60 Personenstunden$
2Auf 15 Personen verteilen
$t = 60 : 15 = 4$

Ergebnis

$15$ Personen benötigen $4$ Stunden.

Musteraufgabe 2

Mittel

Wertetabelle prüfen

Sind $(2 ∣ 24), (3 ∣ 16), (8 ∣ 6)$ antiproportional?

1Produkte berechnen
$2 \cdot 24 = 48 3 \cdot 16 = 48 8 \cdot 6 = 48$
2Konstante erkennen
$k = 48$

Ergebnis

Ja. Es gilt $y = \frac{48}{x}$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Arbeitszeit

$4$ Maschinen brauchen $18$ Stunden. Wie viele Stunden brauchen $6$ gleich schnelle Maschinen?

Aufgabe 2

Einfach

Produktkonstante

Für $x = 5$ gilt $y = 14$ . Bestimme $k$ .

Aufgabe 3

Einfach

Fehlenden Wert berechnen

Es gilt $x \cdot y = 96$ . Berechne $y$ für $x = 12$ .

Aufgabe 4

Einfach

Zuordnung unterscheiden

Eine Drohne legt dieselbe Strecke zurück. In welcher Tabelle sind Geschwindigkeit v und benötigte Zeit t antiproportional?

Tabelle A

v ( $\frac{m}{s}$ ): $3$
t (s): $20$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $4$
t (s): $15$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $5$
t (s): $12$

Tabelle A
v ( $\frac{m}{s}$ )	t (s)
$3$	$20$
$4$	$15$
$5$	$12$

Tabelle B

v ( $\frac{m}{s}$ ): $3$
t (s): $6$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $4$
t (s): $8$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $5$
t (s): $10$

Tabelle B
v ( $\frac{m}{s}$ )	t (s)
$3$	$6$
$4$	$8$
$5$	$10$

Tabelle C

v ( $\frac{m}{s}$ ): $3$
t (s): $20$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $4$
t (s): $16$

v ( $\frac{m}{s}$ ): $5$
t (s): $12$

Tabelle C
v ( $\frac{m}{s}$ )	t (s)
$3$	$20$
$4$	$16$
$5$	$12$

Aufgabe 5

Mittel

Arbeiter und Arbeitstage

Sechs gleich schnelle Arbeiter benötigen $15$ Tage. Wie viele Tage benötigen zehn Arbeiter für dieselbe Arbeit?

6 \cdot 15 = 10 \cdot t

Aufgabe 6

Mittel

Geschwindigkeit und Fahrzeit

Eine Strecke wird mit $80$ $\frac{km}{h}$ in $3, 5$ Stunden gefahren. Wie lange dauert dieselbe Strecke bei $112$ $\frac{km}{h}$ ?

80 \cdot 3, 5 = 112 \cdot t

Bei gleicher Strecke bleibt Geschwindigkeit mal Zeit konstant.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Pumpen fallen während der Arbeit aus

Zwölf gleiche Pumpen leeren ein Becken in $8$ Stunden. Nach $2$ Stunden fallen drei Pumpen aus. Nach wie vielen Stunden ab Beginn ist das Becken leer?

12 \cdot 8 = 96 Pumpenstunden

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Vorräte bei veränderter Personenzahl

Ein Vorrat reicht für $18$ Personen $24$ Tage. Nach $6$ Tagen reisen $6$ Personen ab. Für wie viele Tage ab Beginn reicht der Vorrat insgesamt?

18 \cdot 24 = 432 Personentage

Antiproportionale Zuordnungen

x \cdot y = k y = \frac{k}{x}

Das lernst du

Prüfe mehrere Wertepaare auf ein konstantes Produkt.
Bestimme die Produktkonstante k und verwende y = k/x.
Berechne fehlende Werte und kontrolliere, ob ein grösserer x-Wert zu einem kleineren y-Wert führt.

v (

\frac{m}{s}

)

t (s)

3

20

4

15

5

12

v (

\frac{m}{s}

)

t (s)

3

6

4

8

5

10

v (

\frac{m}{s}

)

t (s)

3

20

4

16

5

12

Antiproportionale Zuordnungen

Antiproportionale Zuordnungen

Das lernst du

Arbeit auf Personen verteilen

1Arbeitsmenge bestimmen

2Auf 15 Personen verteilen

Wertetabelle prüfen

1Produkte berechnen

2Konstante erkennen

Arbeitszeit

Produktkonstante

Fehlenden Wert berechnen

Zuordnung unterscheiden

Arbeiter und Arbeitstage

Geschwindigkeit und Fahrzeit

Pumpen fallen während der Arbeit aus

Vorräte bei veränderter Personenzahl

Antiproportionale Zuordnungen

Antiproportionale Zuordnungen

Das lernst du

Arbeit auf Personen verteilen

1Arbeitsmenge bestimmen

2Auf 15 Personen verteilen

Wertetabelle prüfen

1Produkte berechnen

2Konstante erkennen

Arbeitszeit

Produktkonstante

Fehlenden Wert berechnen

Zuordnung unterscheiden

Arbeiter und Arbeitstage

Geschwindigkeit und Fahrzeit

Pumpen fallen während der Arbeit aus

Vorräte bei veränderter Personenzahl