Themenübersicht

Ausklammern

Ausklammern schreibt gemeinsame Faktoren vor eine Klammer und vereinfacht Terme oder Gleichungen.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Ausklammern

Ausklammern ist das Distributivgesetz rückwärts. Du suchst einen gemeinsamen Faktor aller Summanden, schreibst ihn vor eine Klammer und teilst jeden Summanden durch diesen Faktor.

ab + a c = a (b + c)

Für eine vollständige Faktorisierung wählst du bei den Zahlen ihren grössten gemeinsamen Teiler. Bei Variablen nimmst du nur Faktoren, die in jedem Summanden vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten.

Das lernst du

Bestimme den grössten gemeinsamen Zahlenfaktor aller Summanden.
Nimm gemeinsame Variablen mit dem jeweils kleinsten vorkommenden Exponenten vor die Klammer.
Teile jeden Summanden durch den Faktor und kontrolliere durch Ausmultiplizieren.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Einen Zahlenfaktor ausklammern

Faktorisiere $12 x + 18$ vollständig.

1Gemeinsamen Faktor finden
Der ggT von $12$ und $18$ ist $6$ .
2Summanden durch 6 teilen
$12 x : 6 = 2 x 18 : 6 = 3$
3Faktor vor die Klammer setzen
$12 x + 18 = 6 (2 x + 3)$

Ergebnis

$6 (2 x + 3)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Zahl und Variablen ausklammern

Faktorisiere $15 a^{2} b - 10 a b^{2}$ .

1Zahlenfaktor
Der grösste gemeinsame Zahlenfaktor ist $5$ .
2Variablenfaktor
Beide Summanden enthalten mindestens einmal $a$ und einmal $b$ : also $ab$ .
3Durch 5ab teilen
$15 a^{2} b : 5 ab = 3 a - 10 a b^{2} : 5 ab = - 2 b$

Ergebnis

$15 a^{2} b - 10 a b^{2} = 5 ab (3 a - 2 b)$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Gemeinsamer Zahlenfaktor

Klammere bei $20 x + 30$ den grösstmöglichen positiven Zahlenfaktor aus. Welcher Faktor steht vor der Klammer?

Aufgabe 2

Einfach

Variable ausklammern

Welche Faktorisierung von $8 x^{2} - 12 x$ ist vollständig?

Aufgabe 3

Einfach

Kleinsten Exponenten wählen

Welcher Variablenfaktor kann aus $6 y^{3} + 9 y^{2}$ vollständig ausgeklammert werden?

Aufgabe 4

Einfach

Faktorisierung kontrollieren

Welcher Term entsteht beim Ausmultiplizieren von $7 a (2 a - 5)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Gemeinsamen Zahlenfaktor ausklammern

Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus.

12 x + 18

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Zahl und Variablen ausklammern

Faktorisiere mit dem größtmöglichen gemeinsamen Faktor.

15 a^{2} b - 10 a b^{2}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Dreigliedrigen Term faktorisieren

Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Monomfaktor aus.

8 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Mehrere Variablen ausklammern

Faktorisiere den Term so weit wie durch gemeinsames Ausklammern möglich.

6 a^{2} b - 9 a b^{2} + 3 ab

Ausklammern

Ausklammern ist das Distributivgesetz rückwärts. Du suchst einen gemeinsamen Faktor aller Summanden, schreibst ihn vor eine Klammer und teilst jeden Summanden durch diesen Faktor.

ab + a c = a (b + c)

Das lernst du

Bestimme den grössten gemeinsamen Zahlenfaktor aller Summanden.
Nimm gemeinsame Variablen mit dem jeweils kleinsten vorkommenden Exponenten vor die Klammer.
Teile jeden Summanden durch den Faktor und kontrolliere durch Ausmultiplizieren.

Ausklammern

Ausklammern

Das lernst du

Einen Zahlenfaktor ausklammern

1Gemeinsamen Faktor finden

2Summanden durch 6 teilen

3Faktor vor die Klammer setzen

Zahl und Variablen ausklammern

1Zahlenfaktor

2Variablenfaktor

3Durch 5ab teilen

Gemeinsamer Zahlenfaktor

Variable ausklammern

Kleinsten Exponenten wählen

Faktorisierung kontrollieren

Gemeinsamen Zahlenfaktor ausklammern

Zahl und Variablen ausklammern

Dreigliedrigen Term faktorisieren

Mehrere Variablen ausklammern

Ausklammern

Ausklammern

Das lernst du

Einen Zahlenfaktor ausklammern

1Gemeinsamen Faktor finden

2Summanden durch 6 teilen

3Faktor vor die Klammer setzen

Zahl und Variablen ausklammern

1Zahlenfaktor

2Variablenfaktor

3Durch 5ab teilen

Gemeinsamer Zahlenfaktor

Variable ausklammern

Kleinsten Exponenten wählen

Faktorisierung kontrollieren

Gemeinsamen Zahlenfaktor ausklammern

Zahl und Variablen ausklammern

Dreigliedrigen Term faktorisieren

Mehrere Variablen ausklammern