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Baumdiagramme stellen mehrstufige Zufallsexperimente als Verzweigungen mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten dar.
Lernschritt
Theorie verstehen
Ein Baumdiagramm ordnet alle möglichen Abläufe eines mehrstufigen Zufallsversuchs. Eine Stufe ist dabei ein einzelner Schritt des Versuchs, zum Beispiel eine Ziehung oder ein Münzwurf. Bei zwei Ziehungen hat das Baumdiagramm also zwei Stufen. Jeder vollständige Weg von links nach rechts ist ein Ergebnis des Gesamtversuchs.
An jedem Verzweigungspunkt müssen sich die Wahrscheinlichkeiten der ausgehenden Äste zu ergänzen. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich Anzahl und Wahrscheinlichkeiten nach der ersten Ziehung; mit Zurücklegen bleiben sie gleich.
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Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEine faire Münze wird zweimal geworfen. Stelle die möglichen Pfade dar und bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf.
Von jedem Knoten gehen die Äste K und Z mit Wahrscheinlichkeit ab.
Jeder Pfad hat Wahrscheinlichkeit .
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf beträgt .
Musteraufgabe 2
MittelEin Beutel enthält rote und blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Kugel?
Nach R bleiben rote und blaue; nach B bleiben rote und blaue Kugel.
Ergebnis
Genau eine rote Kugel wird mit Wahrscheinlichkeit gezogen.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachEine Münze wird zweimal geworfen. Wie viele vollständige Pfade hat das Baumdiagramm?
Aufgabe 2
EinfachAn einem Knoten hat ein Ast die Wahrscheinlichkeit . Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des einzigen anderen Astes?
Aufgabe 3
EinfachEin Beutel enthält rote und blaue Kugeln. Zweimal wird mit Zurücklegen gezogen. Für : Bestimme .
Aufgabe 4
EinfachEin Beutel enthält rote und blaue Kugel. Zuerst wird blau, dann rot ohne Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Pfadwahrscheinlichkeit in Prozent?
Aufgabe 5
MittelEine faire Münze wird zweimal geworfen. Nutze ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf.
Aufgabe 6
MittelBei jedem Ziehen ist eine Kugel mit Wahrscheinlichkeit rot. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Kugel rot ist.
Aufgabe 7
AnspruchsvollEin Beutel enthält rote und blaue Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Unter der Bedingung, dass mindestens eine rote Kugel gezogen wird: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei rote und eine blaue Kugel?
Aufgabe 8
AnspruchsvollEin Werkstück ist mit Wahrscheinlichkeit defekt. Drei unabhängig produzierte Werkstücke werden geprüft. Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass mindestens eines defekt ist.
