Themenübersicht

Binomische Formeln

Binomische Formeln wandeln Quadrate und Produkte von Summen in schnell berechenbare Standardterme um.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind feste Muster zum Quadrieren einer Summe oder Differenz und zum Multiplizieren von Summe und Differenz. Sie folgen direkt aus dem Ausmultiplizieren.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Das lernst du

Ordne einen Ausdruck einer der drei binomischen Formeln zu.
Bestimme erstes Quadrat, doppeltes Produkt und zweites Quadrat mit korrektem Vorzeichen.
Erkenne binomische Muster auch rückwärts und prüfe sie durch Ausmultiplizieren.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadrat einer Summe

Vereinfache $(x + 4)^{2}$ .

1a und b zuordnen
$a = x b = 4$
2Formel einsetzen
$(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}$
3Produkte berechnen
$x^{2} + 8 x + 16$

Ergebnis

$(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

Musteraufgabe 2

Mittel

Quadrat einer Differenz

Vereinfache $(3 a - 2)^{2}$ .

1Teile des Binoms
$a_{1} = 3 a b_{1} = 2$
2Zweite Formel anwenden
$(3 a)^{2} - 2 \cdot (3 a) \cdot 2 + 2^{2}$
3Vereinfachen
$9 a^{2} - 12 a + 4$

Ergebnis

$(3 a - 2)^{2} = 9 a^{2} - 12 a + 4$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Erste binomische Formel

Vereinfache $(x + 7)^{2}$ . Gib den Koeffizienten von $x$ ein.

Aufgabe 2

Einfach

Zweite binomische Formel

Vereinfache $(2 z - 3)^{2}$ . Welchen konstanten Term erhältst du?

Aufgabe 3

Einfach

Dritte binomische Formel

Vereinfache $(4 a + 1) (4 a - 1)$ . Welche Antwort stimmt?

Aufgabe 4

Einfach

Muster rückwärts erkennen

Welche Faktorisierung gehört zu $x^{2} - 10 x + 25$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Quadrat einer Summe

Wende die erste binomische Formel an.

(x + 7)^{2}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Summe mal Differenz

Vereinfache mit der dritten binomischen Formel.

(3 a - 2 b) (3 a + 2 b)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Binom als Quadrat erkennen

Schreibe den Term als Quadrat eines Binoms.

4 x^{2} - 20 x + 25

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Differenz zweier Binomquadrate

Vereinfache vollständig.

(2 x + 3)^{2} - (2 x - 3)^{2}

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind feste Muster zum Quadrieren einer Summe oder Differenz und zum Multiplizieren von Summe und Differenz. Sie folgen direkt aus dem Ausmultiplizieren.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Das lernst du

Ordne einen Ausdruck einer der drei binomischen Formeln zu.
Bestimme erstes Quadrat, doppeltes Produkt und zweites Quadrat mit korrektem Vorzeichen.
Erkenne binomische Muster auch rückwärts und prüfe sie durch Ausmultiplizieren.

Binomische Formeln

Binomische Formeln

Das lernst du

Quadrat einer Summe

1a und b zuordnen

2Formel einsetzen

3Produkte berechnen

Quadrat einer Differenz

1Teile des Binoms

2Zweite Formel anwenden

3Vereinfachen

Erste binomische Formel

Zweite binomische Formel

Dritte binomische Formel

Muster rückwärts erkennen

Quadrat einer Summe

Summe mal Differenz

Binom als Quadrat erkennen

Differenz zweier Binomquadrate

Binomische Formeln

Binomische Formeln

Das lernst du

Quadrat einer Summe

1a und b zuordnen

2Formel einsetzen

3Produkte berechnen

Quadrat einer Differenz

1Teile des Binoms

2Zweite Formel anwenden

3Vereinfachen

Erste binomische Formel

Zweite binomische Formel

Dritte binomische Formel

Muster rückwärts erkennen

Quadrat einer Summe

Summe mal Differenz

Binom als Quadrat erkennen

Differenz zweier Binomquadrate