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Einheitskreis

Im Einheitskreis mit Radius 1 ordnet jeder Winkel α einem Punkt mit den Koordinaten cos α und sin α zu.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius $r = 1$ . Jeder Punkt P auf dem Kreis lässt sich durch einen Winkel $α$ vom positiven x-Strahl beschreiben.

P (cos α ∣ sin (α)) mit cos^{2} α + sin^{2} (α) = 1

Die x-Koordinate ist der Kosinus, die y-Koordinate der Sinus des Winkels. Im Einheitskreis sind das genau die Katheten im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $1$ .

Wichtige Werte zum Auswendiglernen

Winkel $α$: $3 0^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{1}{2}$
$cos (α)$: $\frac{3}{2}$
$tan (α)$: $3$

Winkel $α$: $4 5^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{2}{2}$
$cos (α)$: $\frac{2}{2}$
$tan (α)$: $1$

Winkel $α$: $6 0^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{3}{2}$
$cos (α)$: $\frac{1}{2}$
$tan (α)$: $3$

Winkel $α$: $9 0^{\circ}$
$sin (α)$: $1$
$cos (α)$: $0$
$tan (α)$: nicht definiert

Wichtige Werte zum Auswendiglernen
Winkel $α$	$sin (α)$	$cos (α)$	$tan (α)$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$3$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$	nicht definiert

Für $tan (α)$ gilt $tan (α) = \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}$ . Deshalb ist $tan (9 0^{\circ})$ nicht definiert: Der Nenner ist $0$ .

Das lernst du

Erkläre Einheitskreis, Mittelpunkt und Radius r = 1.
Lies cos(α) und sin(α) als Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis ab.
Nutze cos²(α) + sin²(α) = 1, um fehlende Werte zu bestimmen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Koordinaten am Einheitskreis

Für $α = 6 0^{\circ}$ gilt im Einheitskreis $cos (α) = 0$ , $5$ . Bestimme $s in (α)$ .

1Pythagoras am Einheitskreis
$cos^{2} (α) + sin^{2} (α) = 1$
2Einsetzen
$0, 5^{2} + sin^{2} (α) = 1 \Rightarrow sin^{2} (α) = 0, 75$
3Wurzel ziehen
$sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2} \approx 0, 866$

Ergebnis

$sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Sinus auslesen

Ein Punkt P auf dem Einheitskreis hat die Koordinate $y = 0, 6$ . Bestimme $sin (α)$ .

1Koordinate deuten
Im Einheitskreis ist die y-Koordinate gleich $s in (α)$ .
2Ergebnis
$sin (α) = 0, 6$

Ergebnis

$sin (α) = 0, 6$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Radius

Wie gross ist der Radius des Einheitskreises?

Aufgabe 2

Einfach

Kosinus bei 0°

Bestimme cos $0$ ° am Einheitskreis.

Aufgabe 3

Einfach

Sinus bei 90°

Bestimme $s in (9 0^{\circ})$ am Einheitskreis.

Aufgabe 4

Einfach

Koordinate zuordnen

Welche Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis ist gleich $s in (α)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Sinus im zweiten Quadranten

Ein Winkel von $150$ ° wird im Einheitskreis dargestellt. Bestimme $s in (15 0^{\circ})$ .

Aufgabe 6

Mittel

Kosinus als x-Koordinate

Der Punkt $P (- 0, 6∣0, 8)$ liegt auf dem Einheitskreis und gehört zum Winkel α. Bestimme $cos (α)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Kosinus aus dem Sinus

Für einen Winkel im vierten Quadranten gilt $s in (α) = -$ $\frac{5}{13}$ . Bestimme $cos (α)$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Tangens im zweiten Quadranten

Für einen Winkel α im zweiten Quadranten gilt $s in (α)$ = $\frac{12}{13}$ . Bestimme $t an (α)$ .

Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius $r = 1$ . Jeder Punkt P auf dem Kreis lässt sich durch einen Winkel $α$ vom positiven x-Strahl beschreiben.

P (cos α ∣ sin (α)) mit cos^{2} α + sin^{2} (α) = 1

Die x-Koordinate ist der Kosinus, die y-Koordinate der Sinus des Winkels. Im Einheitskreis sind das genau die Katheten im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $1$ .

Wichtige Werte zum Auswendiglernen

Winkel $α$: $3 0^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{1}{2}$
$cos (α)$: $\frac{3}{2}$
$tan (α)$: $3$

Winkel $α$: $4 5^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{2}{2}$
$cos (α)$: $\frac{2}{2}$
$tan (α)$: $1$

Winkel $α$: $6 0^{\circ}$
$sin (α)$: $\frac{3}{2}$
$cos (α)$: $\frac{1}{2}$
$tan (α)$: $3$

Winkel $α$: $9 0^{\circ}$
$sin (α)$: $1$
$cos (α)$: $0$
$tan (α)$: nicht definiert

Wichtige Werte zum Auswendiglernen
Winkel $α$	$sin (α)$	$cos (α)$	$tan (α)$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$3$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$	nicht definiert

Für $tan (α)$ gilt $tan (α) = \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}$ . Deshalb ist $tan (9 0^{\circ})$ nicht definiert: Der Nenner ist $0$ .

Das lernst du

Erkläre Einheitskreis, Mittelpunkt und Radius r = 1.
Lies cos(α) und sin(α) als Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis ab.
Nutze cos²(α) + sin²(α) = 1, um fehlende Werte zu bestimmen.

Einheitskreis

Einheitskreis

Das lernst du

Koordinaten am Einheitskreis

1Pythagoras am Einheitskreis

2Einsetzen

3Wurzel ziehen

Sinus auslesen

1Koordinate deuten

2Ergebnis

Radius

Kosinus bei 0°

Sinus bei 90°

Koordinate zuordnen

Sinus im zweiten Quadranten

Kosinus als x-Koordinate

Kosinus aus dem Sinus

Tangens im zweiten Quadranten

Einheitskreis

Einheitskreis

Das lernst du

Koordinaten am Einheitskreis

1Pythagoras am Einheitskreis

2Einsetzen

3Wurzel ziehen

Sinus auslesen

1Koordinate deuten

2Ergebnis

Radius

Kosinus bei 0°

Sinus bei 90°

Koordinate zuordnen

Sinus im zweiten Quadranten

Kosinus als x-Koordinate

Kosinus aus dem Sinus

Tangens im zweiten Quadranten