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Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und in die andere eingesetzt.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. So entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.

y = T (x) ⟹ y in der zweiten Gleichung durch T (x) ersetzen

Nachdem du die erste Variable bestimmt hast, setzt du ihren Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest die zweite. Eine Probe in beiden Gleichungen schliesst den Rechenweg ab.

Das lernst du

Wähle eine Gleichung, die bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder sich leicht auflösen lässt.
Ersetze die Variable in der anderen Gleichung durch den vollständigen Ausdruck.
Berechne beide Variablen und prüfe das geordnete Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Eine Variable ist bereits isoliert

Löse ${y = 2 x + 1 3 x + y = 11$ .

1y einsetzen
$3 x + (2 x + 1) = 11$
2Nach x lösen
$5 x + 1 = 11 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$
3y berechnen
$y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Ergebnis

$L = {(2 ∣ 5)}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Zuerst nach x auflösen

Löse ${x - y = 1 2 x + y = 8$ .

1Erste Gleichung umstellen
$x = y + 1$
2In die zweite Gleichung einsetzen
$2 (y + 1) + y = 8$
3y lösen
$3 y + 2 = 8 \Rightarrow y = 2$
4x berechnen
$x = 2 + 1 = 3$

Ergebnis

$L = {(3 ∣ 2)}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Direkt einsetzen

Löse ${y = x + 2 2 x + y = 11$ . Gib x ein.

Aufgabe 2

Einfach

Ausdruck mit Minus

Löse ${y = 7 - x x + 2 y = 8$ . Gib x ein.

Aufgabe 3

Einfach

Vorher umstellen

Löse ${x + y = 9 2 x - y = 3$ . Gib y ein.

Aufgabe 4

Einfach

Korrekten Einsetzschritt erkennen

Gegeben ist ${x = 3 y - 2 4 x + y = 18$ . Welche Gleichung entsteht nach dem Einsetzen?

Aufgabe 5

Mittel

Aufgelöste Gleichung einsetzen

Löse das System mit dem Einsetzungsverfahren.

y x + y = 3 x - 4 = 12

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Ausdruck für x einsetzen

Löse durch Einsetzen.

x 3 x - y = 2 y + 1 = 13

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Vorzeichen beim Einsetzen

Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

2 x - y y = 1 = 5 - x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Einsetzen mit Dezimalkoeffizient

Bestimme x und y durch Einsetzen.

0, 5 x + 2 y x = 13 = 3 y - 2

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. So entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.

y = T (x) ⟹ y in der zweiten Gleichung durch T (x) ersetzen

Nachdem du die erste Variable bestimmt hast, setzt du ihren Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest die zweite. Eine Probe in beiden Gleichungen schliesst den Rechenweg ab.

Das lernst du

Wähle eine Gleichung, die bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder sich leicht auflösen lässt.
Ersetze die Variable in der anderen Gleichung durch den vollständigen Ausdruck.
Berechne beide Variablen und prüfe das geordnete Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen.

Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das lernst du

Eine Variable ist bereits isoliert

1y einsetzen

2Nach x lösen

3y berechnen

Zuerst nach x auflösen

1Erste Gleichung umstellen

2In die zweite Gleichung einsetzen

3y lösen

4x berechnen

Direkt einsetzen

Ausdruck mit Minus

Vorher umstellen

Korrekten Einsetzschritt erkennen

Aufgelöste Gleichung einsetzen

Ausdruck für x einsetzen

Vorzeichen beim Einsetzen

Einsetzen mit Dezimalkoeffizient

Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das lernst du

Eine Variable ist bereits isoliert

1y einsetzen

2Nach x lösen

3y berechnen

Zuerst nach x auflösen

1Erste Gleichung umstellen

2In die zweite Gleichung einsetzen

3y lösen

4x berechnen

Direkt einsetzen

Ausdruck mit Minus

Vorher umstellen

Korrekten Einsetzschritt erkennen

Aufgelöste Gleichung einsetzen

Ausdruck für x einsetzen

Vorzeichen beim Einsetzen

Einsetzen mit Dezimalkoeffizient