Themenübersicht

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum verändert eine Grösse in gleichen Zeitabständen stets mit demselben Faktor.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Exponentielles Wachstum

Bei einer exponentiellen Entwicklung wird der aktuelle Bestand in jeder Periode mit demselben Faktor $q$ multipliziert. Deshalb steht die Zeitvariable im Exponenten.

B (n) = B_{0} \cdot q^{n}

Für $q > 1$ wächst der Bestand, für $0 < q < 1$ nimmt er ab. Eine Änderung um $p %$ entspricht $q = 1 + \frac{p}{100}$ beim Wachstum und $q = 1 - \frac{p}{100}$ beim Zerfall.

Das lernst du

Bestimme Anfangswert B₀, Faktor q und Anzahl Perioden n.
Wandle eine prozentuale Zu- oder Abnahme in den Faktor q um.
Berechne Bestände mit B(n) = B₀qⁿ und unterscheide Wachstum von Zerfall.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Wachsender Bestand

Eine Kultur startet mit $500$ Zellen und wächst pro Stunde um $20 %$ . Wie viele Zellen sind es nach $3$ Stunden?

1Faktor
$q = 1 + 0, 20 = 1, 20$
2Modell
$B (3) = 500 \cdot 1, 2^{3}$
3Berechnen
$B (3) = 864$

Ergebnis

Nach $3$ Stunden sind es $864$ Zellen.

Musteraufgabe 2

Mittel

Exponentieller Zerfall

Ein Bestand von $800 g$ nimmt pro Tag um $15 %$ ab. Bestimme den Bestand nach $2$ Tagen.

1Abnahmefaktor
$q = 1 - 0, 15 = 0, 85$
2Zwei Perioden
$B (2) = 800 \cdot 0, 8 5^{2} = 578$

Ergebnis

Nach $2$ Tagen bleiben $578 g$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Wachstumsfaktor

Welcher Faktor gehört zu $6 %$ Wachstum pro Periode?

Aufgabe 2

Einfach

Abnahmefaktor

Welcher Faktor gehört zu $12 %$ Abnahme?

Aufgabe 3

Einfach

Bestand berechnen

Ein Bestand von $1000 w$ ächst zwei Perioden lang jeweils um $10 %$ . Berechne den Endbestand.

Aufgabe 4

Einfach

Modell erkennen

Welche Folge beschreibt exponentielles Wachstum?

Aufgabe 5

Mittel

Kapital mit Wachstumsfaktor

Ein Kapital von $800$ € wächst drei Jahre lang jährlich um $127 %$ . Wie groß ist es danach?

Aufgabe 6

Mittel

Bakterienverdopplung

Eine Kultur enthält anfangs $120$ Bakterien und verdoppelt sich alle $3$ Stunden. Wie viele Bakterien sind nach $9$ Stunden vorhanden?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Rückwärts rechnen und weiterrechnen

Ein Sparguthaben beträgt nach drei Jahren bei jährlich $10 %$ Wachstum $1331$ €. Anschließend werden $12 %$ des Guthabens abgezogen. Wie viel Geld bleibt übrig?

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wachstum und Zerfall kombinieren

Eine Kultur enthält $640$ Zellen. Sie wächst drei Stunden lang pro Stunde um $20 %$ . Danach gehen zwei Stunden lang pro Stunde $25 %$ der Zellen verloren. Wie viele Zellen sind dann vorhanden? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Exponentielles Wachstum

Bei einer exponentiellen Entwicklung wird der aktuelle Bestand in jeder Periode mit demselben Faktor $q$ multipliziert. Deshalb steht die Zeitvariable im Exponenten.

B (n) = B_{0} \cdot q^{n}

Für $q > 1$ wächst der Bestand, für $0 < q < 1$ nimmt er ab. Eine Änderung um $p %$ entspricht $q = 1 + \frac{p}{100}$ beim Wachstum und $q = 1 - \frac{p}{100}$ beim Zerfall.

Das lernst du

Bestimme Anfangswert B₀, Faktor q und Anzahl Perioden n.
Wandle eine prozentuale Zu- oder Abnahme in den Faktor q um.
Berechne Bestände mit B(n) = B₀qⁿ und unterscheide Wachstum von Zerfall.

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Das lernst du

Wachsender Bestand

1Faktor

2Modell

3Berechnen

Exponentieller Zerfall

1Abnahmefaktor

2Zwei Perioden

Wachstumsfaktor

Abnahmefaktor

Bestand berechnen

Modell erkennen

Kapital mit Wachstumsfaktor

Bakterienverdopplung

Rückwärts rechnen und weiterrechnen

Wachstum und Zerfall kombinieren

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Das lernst du

Wachsender Bestand

1Faktor

2Modell

3Berechnen

Exponentieller Zerfall

1Abnahmefaktor

2Zwei Perioden

Wachstumsfaktor

Abnahmefaktor

Bestand berechnen

Modell erkennen

Kapital mit Wachstumsfaktor

Bakterienverdopplung

Rückwärts rechnen und weiterrechnen

Wachstum und Zerfall kombinieren