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Gleichungen mit Brüchen

Bruchgleichungen werden durch Multiplikation mit dem Hauptnenner von ihren Nennern befreit.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Gleichungen mit Brüchen

Bruchgleichungen mit Zahlen im Nenner werden übersichtlich, wenn du beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner multiplizierst. Dadurch verschwinden die Brüche.

\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = 4 \cdot 6 2 x + 3 = 24

Multipliziere dabei jeden Term auf beiden Seiten. Enthält ein Nenner eine Variable, musst du zusätzlich alle Werte ausschliessen, die einen Nenner zu $0$ machen.

Das lernst du

Bestimme das kgV aller Zahlen im Nenner als Hauptnenner.
Multipliziere jeden Gleichungsterm mit dem Hauptnenner und kürze die Nenner.
Löse die bruchfreie Gleichung und beachte bei Variablennennern ausgeschlossene Werte.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Ein Bruchterm

Löse $\frac{x}{3} + 2 = 5$ .

1Mit 3 multiplizieren
$x + 6 = 15$
26 subtrahieren
$x = 9$
3Probe
$\frac{9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5$

Ergebnis

$x = 9$

Musteraufgabe 2

Mittel

Mehrere Nenner

Löse $\frac{2 x - 1}{4} - \frac{x + 1}{6} = 1$ .

1Hauptnenner bestimmen
Das kgV von $4$ und $6$ ist $12$ .
2Jeden Term mit 12 multiplizieren
$3 (2 x - 1) - 2 (x + 1) = 12$
3Klammern auflösen
$6 x - 3 - 2 x - 2 = 12$
4Nach x lösen
$4 x - 5 = 12 \Rightarrow 4 x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{4}$

Ergebnis

$x = \frac{17}{4}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Einfacher Nenner

Löse $\frac{x}{5} + 3 = 7$ .

Aufgabe 2

Einfach

Zwei Nenner

Löse $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

Aufgabe 3

Einfach

Bruch mit Konstante

Löse $\frac{x - 2}{4} = - 3$ .

Aufgabe 4

Einfach

Gebrochene Lösung

Löse $\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2}$ . Welche Lösung stimmt?

Aufgabe 5

Mittel

Einfache Bruchgleichung

Löse die Gleichung.

\frac{x}{5} + 3 = 7

Aufgabe 6

Mittel

Zwei Nenner beseitigen

Löse die Gleichung mithilfe des Hauptnenners.

\frac{3 x}{4} - \frac{5}{6} = \frac{7}{3}

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Variable in mehreren Zählern

Löse die Bruchgleichung.

\frac{x - 2}{3} + \frac{x + 1}{4} = 5

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Variable in den Nennern

Löse die Gleichung unter Beachtung der Definitionsmenge.

\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}

Gleichungen mit Brüchen

Bruchgleichungen mit Zahlen im Nenner werden übersichtlich, wenn du beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner multiplizierst. Dadurch verschwinden die Brüche.

\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = 4 \cdot 6 2 x + 3 = 24

Multipliziere dabei jeden Term auf beiden Seiten. Enthält ein Nenner eine Variable, musst du zusätzlich alle Werte ausschliessen, die einen Nenner zu $0$ machen.

Das lernst du

Bestimme das kgV aller Zahlen im Nenner als Hauptnenner.
Multipliziere jeden Gleichungsterm mit dem Hauptnenner und kürze die Nenner.
Löse die bruchfreie Gleichung und beachte bei Variablennennern ausgeschlossene Werte.

Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen mit Brüchen

Das lernst du

Ein Bruchterm

1Mit 3 multiplizieren

26 subtrahieren

3Probe

Mehrere Nenner

1Hauptnenner bestimmen

2Jeden Term mit 12 multiplizieren

3Klammern auflösen

4Nach x lösen

Einfacher Nenner

Zwei Nenner

Bruch mit Konstante

Gebrochene Lösung

Einfache Bruchgleichung

Zwei Nenner beseitigen

Variable in mehreren Zählern

Variable in den Nennern

Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen mit Brüchen

Das lernst du

Ein Bruchterm

1Mit 3 multiplizieren

26 subtrahieren

3Probe

Mehrere Nenner

1Hauptnenner bestimmen

2Jeden Term mit 12 multiplizieren

3Klammern auflösen

4Nach x lösen

Einfacher Nenner

Zwei Nenner

Bruch mit Konstante

Gebrochene Lösung

Einfache Bruchgleichung

Zwei Nenner beseitigen

Variable in mehreren Zählern

Variable in den Nennern