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Die Kombinatorik zählt mögliche Anordnungen und Auswahlen, ohne jeden einzelnen Fall aufzulisten.
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Theorie verstehen
Die Kombinatorik zählt Möglichkeiten, ohne jede einzeln aufzulisten. Bei mehreren aufeinanderfolgenden Entscheidungen multiplizierst du die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten.
Die Fakultät zählt, auf wie viele Arten du verschiedene Objekte vollständig anordnen kannst. Für den ersten Platz gibt es Möglichkeiten, danach und so weiter. Beispiel: Reihenfolgen.
Der Binomialkoeffizient (gesprochen: «n über k» oder «n tief k») zählt, wie viele verschiedene Gruppen mit Objekten du aus Objekten auswählen kannst, wenn die Reihenfolge egal ist. Die Division entfernt die Doppelzählungen: Die ausgewählten Objekte können untereinander -mal und die übrigen Objekte -mal angeordnet werden. Beispiel: Zweiergruppen.
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Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEs stehen -Shirts, Hosen und Paar Schuhe zur Wahl. Wie viele Outfits sind möglich?
Für jedes T-Shirt gibt es Hosen und zu jeder Kombination Paar Schuhe.
Jedes Outfit wird durch genau eine Wahl auf jeder Stufe beschrieben.
Ergebnis
Es gibt verschiedene Outfits.
Musteraufgabe 2
MittelAcht Personen laufen ein Rennen. Auf wie viele Arten können Gold, Silber und Bronze vergeben werden?
Für den ersten Platz gibt es öglichkeiten.
Danach bleiben beziehungsweise Personen.
Ergebnis
Das Podest kann auf Arten besetzt werden.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachEs stehen verschiedene T-Shirts und verschiedene Hosen zur Auswahl. Wie viele Outfits aus je einem T-Shirt und einer Hose sind möglich?
Aufgabe 2
EinfachEin Menü besteht aus einer von Vorspeisen, einem von Hauptgerichten und einem von Desserts. Vorspeise V₁ passt nur zu H₃, H₄ oder H₅. Dessert D₂ gibt es nur mit V₄. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
Aufgabe 3
EinfachFünf verschiedene Bücher werden in einer Reihe aufgestellt. Wie viele Reihenfolgen sind möglich?
Aufgabe 4
EinfachAus sieben Personen wird ein Zweierteam ohne feste Rollen gewählt. Wie viele Teams sind möglich?
Aufgabe 5
MittelEine sechsstellige PIN besteht aus Ziffern von bis . Ziffern dürfen sich wiederholen, die erste Ziffer darf aber nicht sein. Genau zweimal kommt die Ziffer vor. Wie viele PINs sind möglich?
Aufgabe 6
MittelEine fünfstellige PIN besteht aus verschiedenen Ziffern. Die erste Ziffer darf nicht sein. Genau eine der Ziffern oder kommt vor. Wie viele PINs sind möglich?
Aufgabe 7
AnspruchsvollEin Zugangscode besteht aus sechs verschiedenen Zeichen: genau drei Buchstaben aus A bis F und drei Ziffern aus bis . Der Code beginnt mit einem Buchstaben und endet nicht mit . Wie viele solche Zugangscodes sind möglich?
Aufgabe 8
AnspruchsvollSechs verschiedene Bücher A bis F werden in einer Reihe angeordnet. A und B müssen nebeneinander stehen, C darf aber nicht am ersten oder letzten Platz stehen. Wie viele Reihenfolgen sind möglich?
