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LernenMathematikSekundarstufe IGleichungenLineare Gleichungen lösen

Themenübersicht

Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen werden mit gleichen Rechenoperationen auf beiden Seiten nach der Unbekannten aufgelöst.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen
Beispiele
nachvollziehen
Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

2x + 3 = 112x = 8− 3x = 4: 2
Illustration zu Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen lösen

In einer linearen Gleichung kommt die Variable nur in der ersten Potenz vor. Sammle alle Variablenterme auf einer Seite und alle konstanten Terme auf der anderen. Teile zuletzt durch den Koeffizienten der Variablen.

ax+b=cx+d

Fällt die Variable beim Umformen weg, vergleichst du die verbleibenden Zahlen: Eine wahre Aussage bedeutet unendlich viele Lösungen, eine falsche Aussage keine Lösung.

Merke

Ziel ist eine Form wie x=k. Ergibt sich stattdessen 0=0, gilt die Gleichung für alle Zahlen; bei 0=5 gibt es keine Lösung.

Das lernst du

  • •Sammle Variablenterme und Konstanten durch Äquivalenzumformungen auf getrennten Seiten.
  • •Teile am Schluss durch den Koeffizienten und führe eine Probe aus.
  • •Unterscheide eine eindeutige, keine und unendlich viele Lösungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Variable auf beiden Seiten

Löse 7x+5=3x−11.

  1. 13x subtrahieren

    4x+5=−11
  2. 25 subtrahieren

    4x=−16
  3. 3Durch 4 teilen

    x=−4

Ergebnis

x=−4

Musteraufgabe 2

Mittel

Unendlich viele Lösungen

Untersuche 3x+6=3(x+2).

  1. 1Rechte Seite ausmultiplizieren

    3(x+2)=3x+6
  2. 2Gleiche Seiten erkennen

    3x+6=3x+6
  3. 3Beide Seiten subtrahieren

    0=0

Ergebnis

Jede reelle Zahl löst die Gleichung: L=R.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Variable auf beiden Seiten

Löse 5x−7=2x+8.

Aufgabe 2

Einfach

Negative Lösung

Löse 4−3x=16.

Aufgabe 3

Einfach

Lösungsart erkennen

Welche Lösungsmenge hat 6x−3=3(2x−1)?

Aufgabe 4

Einfach

Widerspruch erkennen

Welche Lösungsmenge hat 4x+2=4x−5?

Aufgabe 5

Mittel

Zweistufige lineare Gleichung

Löse die Gleichung.

7x−9=26

Aufgabe 6

Mittel

Lineare Gleichung mit negativem Koeffizienten

Löse die Gleichung.

4−3x=19

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Variable auf beiden Seiten

Löse und führe die Variablenterme auf einer Seite zusammen.

5x−7=2x+14

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Gleichung mit Dezimalzahlen

Löse die Gleichung exakt.

0,4x+3,2=0,15x−1,8