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Der Vergleich von Median und Mittelwert zeigt, wie stark Ausreisser den Durchschnitt beeinflussen.
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Theorie verstehen
Der Median und der arithmetische Mittelwert beschreiben beide die Mitte einer Datenreihe, aber auf unterschiedliche Weise. Der Median teilt die geordneten Werte in zwei gleich grosse Hälften. Der Mittelwert verteilt die Gesamtsumme gleichmässig auf alle Beobachtungen.
Der Median wird von einzelnen extrem grossen oder kleinen Werten kaum verändert. Der Mittelwert reagiert dagegen stark auf solche Ausreisser, weil jeder Wert in die Summe eingeht.
Vereinfachtes Beispiel zum Vermögen in der Schweiz: Angenommen, der Median beträgt und der Mittelwert . Der Median bedeutet: Mindestens die Hälfte der Personen besitzt höchstens und mindestens die Hälfte besitzt mindestens diesen Betrag. Der Mittelwert von bedeutet dagegen nicht, dass eine typische Person so viel besitzt. Einige sehr hohe Vermögen ziehen den Mittelwert nach oben.
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Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachVergleiche Median und Mittelwert der Vermögen (in Tausend CHF).
Der Mittelwert liegt deutlich über dem Median, weil das Vermögen von die Gesamtsumme stark erhöht.
Ergebnis
Der Median beträgt ', der Mittelwert '. Für ein typisches Vermögen ist hier der Median näherliegend.
Musteraufgabe 2
MittelEine Gemeinde möchte wissen, welches Einkommen für eine typische Familie üblich ist. Die Einkommen sind stark unterschiedlich verteilt. Welcher Kennwert ist geeigneter?
Wenige sehr hohe Einkommen würden den Mittelwert nach oben ziehen.
Der Median teilt die Familien in zwei gleich grosse Gruppen und wird durch die höchsten Einkommen weniger beeinflusst.
Ergebnis
Für ein typisches Einkommen ist der Median geeigneter. Für die gesamte durchschnittliche Einkommenssumme bleibt der Mittelwert sinnvoll.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachBerechne Median und Mittelwert der Werte .
Aufgabe 2
EinfachWelche Aussage stimmt für eine Datenreihe mit einem sehr grossen Ausreisser?
Aufgabe 3
EinfachDu möchtest das typische Einkommen einer stark ungleich verteilten Gruppe beschreiben. Welchen Kennwert wählst du?
Aufgabe 4
EinfachBerechne Median und Mittelwert der Werte .
Bearbeite diese Variante auf Niveau «einfach».
Aufgabe 5
MittelBestimme Median und Mittelwert der Werte , , , und .
Aufgabe 6
MittelDer Mittelwert der Werte , , , und beträgt . Welcher Mittelwert entsteht, wenn durch ersetzt wird?
Aufgabe 7
AnspruchsvollFünf Werte haben den Mittelwert . Vier Werte lauten , , und . Bestimme den fünften Wert und den Median der fünf Werte.
Aufgabe 8
AnspruchsvollEine Datenreihe hat den Median und den Mittelwert . Wie gross ist der Mittelwert, wenn zu den fünf Werten zusätzlich ein sechster Wert hinzukommt und die bisherige Summe beträgt?
