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Pfadregeln multiplizieren Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads und addieren die Wahrscheinlichkeiten passender Pfade.
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Theorie verstehen
Mit den Pfadregeln berechnest du Ereignisse in einem Baumdiagramm. Für einen vollständigen Pfad multiplizierst du die Astwahrscheinlichkeiten. Besteht ein Ereignis aus mehreren getrennten Pfaden, addierst du anschliessend deren Wahrscheinlichkeiten.
Die Schreibweise liest du als: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist. Der senkrechte Strich bedeutet «unter der Bedingung». In indexierter Schreibweise ist das gleichbedeutend mit ; der Index A nennt die Bedingung.
Im abgebildeten Baum ist der grüne Weg . Seine Wahrscheinlichkeit berechnest du durch Multiplizieren: .
Das rote Ereignis besteht aus zwei Wegen: und . Deshalb addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten: .
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Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEin fairer Würfel wird zweimal geworfen. Wie wahrscheinlich sind zwei Sechsen?
Der gesuchte Ablauf ist .
Bei beiden unabhängigen Würfen gilt .
Ergebnis
Zwei Sechsen treten mit Wahrscheinlichkeit auf.
Musteraufgabe 2
MittelZwei unabhängige Ampeln zeigen mit Wahrscheinlichkeit Rot. Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Ampel?
Genau einmal Rot bedeutet Rot–Nichtrot oder Nichtrot–Rot.
Ergebnis
Genau eine Ampel ist mit Wahrscheinlichkeit rot.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachEine faire Münze wird zweimal geworfen. Wie gross ist in Prozent?
Aufgabe 2
EinfachZwei faire Würfel werden geworfen. Nur der Pfad (, ) ergibt die Summe . Für : Bestimme .
Aufgabe 3
EinfachEin Beutel enthält rote und blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln in Prozent?
Aufgabe 4
EinfachBei zwei unabhängigen Versuchen beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit jeweils . Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Erfolg in Prozent?
Aufgabe 5
MittelIn einem zweistufigen Zufallsversuch hat der erste Ast die Wahrscheinlichkeit und der anschließende Ast . Berechne die Wahrscheinlichkeit des vollständigen Pfades.
Aufgabe 6
MittelEin fairer Würfel wird zweimal geworfen. Berechne mit den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit für genau eine Sechs.
Aufgabe 7
AnspruchsvollVon Geräten sind defekt und funktionsfähig. Zwei Geräte werden ohne Zurücklegen geprüft. Unter der Bedingung, dass mindestens ein Gerät defekt ist: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Gerät defekt ist?
Aufgabe 8
AnspruchsvollEin Gerät stammt mit Wahrscheinlichkeit aus Werk A und mit aus Werk B. In Werk A sind der Geräte fehlerhaft, in Werk B . Ein zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es aus Werk B stammt?
