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Potenzgesetze

Potenzgesetze vereinfachen Produkte, Quotienten und Potenzen von Potenzen mit gleicher Basis.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Potenzgesetze

Potenzgesetze fassen Produkte und Quotienten von Potenzen zusammen. Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert und beim Dividieren subtrahiert. Eine Potenz einer Potenz erhältst du, indem du die Exponenten multiplizierst.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn}

Haben Potenzen denselben Exponenten, kannst du auch die Basen verbinden: $a^{n} b^{n} = (ab)^{n}$ . Bei einem Quotienten muss der Divisor von $0$ verschieden sein.

Das lernst du

Prüfe zuerst, ob Basis oder Exponent übereinstimmen und wähle danach das passende Gesetz.
Addiere Exponenten bei Produkten gleicher Basis und subtrahiere sie bei Quotienten.
Multipliziere die Exponenten bei Potenzen von Potenzen und kontrolliere das Resultat durch Ausschreiben.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Vereinfache und berechne $2^{3} \cdot 2^{5}$ .

1Basis erkennen
Beide Potenzen haben die Basis $2$ .
2Exponenten addieren
$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{3 + 5} = 2^{8}$
3Potenz berechnen
$2^{8} = 256$

Ergebnis

$256$

Musteraufgabe 2

Mittel

Eine Potenz potenzieren

Vereinfache $(3^{2})^{4}$ und berechne den Wert.

1Exponenten multiplizieren
$(3^{2})^{4} = 3^{2 \cdot 4} = 3^{8}$
2Wert berechnen
$3^{8} = 6561$

Ergebnis

$6561$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Quotient

Berechne $5^{6} : 5^{4}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Produkt

Berechne $2^{3} \cdot 2^{4}$ .

Aufgabe 3

Einfach

Potenz einer Potenz

Bestimme den Exponenten: $(x^{3})^{4} = x^{□}$ .

Aufgabe 4

Einfach

Potenz eines Produkts

Berechne $(2 \cdot 3)^{3}$ .

Aufgabe 5

Mittel

Gleiche Basis zusammenfassen

Vereinfache mit den Potenzgesetzen und berechne.

\frac{3 ^{4} \cdot 3 ^{2}}{3 ^{3}}

Aufgabe 6

Mittel

Potenz einer Potenz

Vereinfache zuerst den Exponenten und berechne dann.

\frac{( 2 ^{3} ) ^{4}}{2 ^{9}}

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Negative Exponenten kombinieren

Vereinfache zu einem Produkt mit positiven Exponenten. Es gilt a ≠ $0$ und b ≠ $0$ .

(a^{3} b^{- 2})^{2} \cdot a^{- 1} b^{5}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Quotient mit negativen Exponenten

Vereinfache und schreibe das Ergebnis ohne negative Exponenten. Es gilt x ≠ $0$ und y ≠ $0$ .

\frac{6 x ^{5} y ^{- 2}}{3 x ^{- 1} y ^{3}}

Potenzgesetze

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn}

Haben Potenzen denselben Exponenten, kannst du auch die Basen verbinden: $a^{n} b^{n} = (ab)^{n}$ . Bei einem Quotienten muss der Divisor von $0$ verschieden sein.

Das lernst du

Prüfe zuerst, ob Basis oder Exponent übereinstimmen und wähle danach das passende Gesetz.
Addiere Exponenten bei Produkten gleicher Basis und subtrahiere sie bei Quotienten.
Multipliziere die Exponenten bei Potenzen von Potenzen und kontrolliere das Resultat durch Ausschreiben.

Potenzgesetze

Potenzgesetze

Das lernst du

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

1Basis erkennen

2Exponenten addieren

3Potenz berechnen

Eine Potenz potenzieren

1Exponenten multiplizieren

2Wert berechnen

Quotient

Produkt

Potenz einer Potenz

Potenz eines Produkts

Gleiche Basis zusammenfassen

Potenz einer Potenz

Negative Exponenten kombinieren

Quotient mit negativen Exponenten

Potenzgesetze

Potenzgesetze

Das lernst du

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

1Basis erkennen

2Exponenten addieren

3Potenz berechnen

Eine Potenz potenzieren

1Exponenten multiplizieren

2Wert berechnen

Quotient

Produkt

Potenz einer Potenz

Potenz eines Produkts

Gleiche Basis zusammenfassen

Potenz einer Potenz

Negative Exponenten kombinieren

Quotient mit negativen Exponenten