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Pyramide und Kegel

Pyramiden und Kegel besitzen ein Volumen von einem Drittel aus Grundfläche mal Höhe.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Pyramide und Kegel

Eine Pyramide läuft von einer vieleckigen Grundfläche zu einer Spitze zusammen; beim Kegel ist die Grundfläche ein Kreis. Beide besitzen nur ein Drittel des Volumens eines Prismas beziehungsweise Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe.

V = \frac{1}{3} G h

Für eine gerade quadratische Pyramide mit Grundkante $a$ und Seitenhöhe $s$ gilt $O = a^{2} + 2 a s$ . Für einen geraden Kegel mit Radius $r$ und Mantellinie $s$ gilt $O = π r^{2} + π r s$ .

Das lernst du

Berechne das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels mit dem Faktor 1/3.
Unterscheide senkrechte Körperhöhe h und schräge Mantellinie s.
Bestimme Mantel, Oberfläche oder eine fehlende Höhe mit der passenden Formel.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratische Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat $a = 10 cm$ , Körperhöhe $h = 12 cm$ und Seitenhöhe $s = 13 cm$ . Berechne Volumen und Oberfläche.

1Grundfläche
$G = a^{2} = 1 0^{2} = 100 c m^{2}$
2Volumen
$V = \frac{1}{3} G h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 c m^{3}$
3Mantel und Oberfläche
$M = 4 \cdot \frac{a s}{2} = 2 a s = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260 c m^{2}$ $O = G + M = 100 + 260 = 360 c m^{2}$

Ergebnis

$V = 400 c m^{3}$ und $O = 360 c m^{2}$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Gerader Kegel

Ein Kegel hat $r = 3 cm$ , $h = 4 cm$ und Mantellinie $s = 5 cm$ .

1Volumen mit h
$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12 π c m^{3}$
2Mantel mit s
$M = π r s = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π c m^{2}$
3Oberfläche
$O = π r^{2} + M = 9 π + 15 π = 24 π c m^{2}$

Ergebnis

$V = 12 π c m^{3}$ und $O = 24 π c m^{2}$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Pyramidenvolumen

Eine Pyramide hat $G = 48 c m^{2}$ und $h = 9 cm$ . Berechne $V$ in $c m^{3}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Kegelvolumen exakt

Ein Kegel hat $r = 6 cm$ und $h = 5 cm$ . Für $V = k π c m^{3}$ : Bestimme $k$ .

Aufgabe 3

Einfach

Kegeloberfläche

Ein Kegel hat $r = 5 cm$ und Mantellinie $s = 13 cm$ . Für $O = k π c m^{2}$ : Bestimme $k$ .

Aufgabe 4

Einfach

Körperhöhe bestimmen

Eine Pyramide hat $V = 240 c m^{3}$ und $G = 60 c m^{2}$ . Bestimme die senkrechte Höhe in cm.

Aufgabe 5

Mittel

Volumen einer quadratischen Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante von $6 cm$ und eine Höhe von $10 cm$ . Berechne ihr Volumen.

Aufgabe 6

Mittel

Kegelvolumen

Ein Kegel hat den Radius $3 cm$ und die Höhe $12 cm$ . Berechne sein Volumen auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Höhe und Volumen einer Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante von $10 cm$ und eine Seitenhöhe von $13 cm$ . Berechne zuerst ihre senkrechte Höhe und danach ihr Volumen.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Kegel und Zylinder vergleichen

Ein Kegel mit Radius $6 cm$ und Höhe $15 cm$ wird hergestellt. Ein Zylinder mit Radius $4 cm$ soll $80 %$ des Kegelvolumens aufnehmen. Wie hoch muss der Zylinder sein?

Pyramide und Kegel

V = \frac{1}{3} G h

Für eine gerade quadratische Pyramide mit Grundkante $a$ und Seitenhöhe $s$ gilt $O = a^{2} + 2 a s$ . Für einen geraden Kegel mit Radius $r$ und Mantellinie $s$ gilt $O = π r^{2} + π r s$ .

Das lernst du

Berechne das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels mit dem Faktor 1/3.
Unterscheide senkrechte Körperhöhe h und schräge Mantellinie s.
Bestimme Mantel, Oberfläche oder eine fehlende Höhe mit der passenden Formel.

Pyramide und Kegel

Pyramide und Kegel

Das lernst du

Quadratische Pyramide

1Grundfläche

2Volumen

3Mantel und Oberfläche

Gerader Kegel

1Volumen mit h

2Mantel mit s

3Oberfläche

Pyramidenvolumen

Kegelvolumen exakt

Kegeloberfläche

Körperhöhe bestimmen

Volumen einer quadratischen Pyramide

Kegelvolumen

Höhe und Volumen einer Pyramide

Kegel und Zylinder vergleichen

Pyramide und Kegel

Pyramide und Kegel

Das lernst du

Quadratische Pyramide

1Grundfläche

2Volumen

3Mantel und Oberfläche

Gerader Kegel

1Volumen mit h

2Mantel mit s

3Oberfläche

Pyramidenvolumen

Kegelvolumen exakt

Kegeloberfläche

Körperhöhe bestimmen

Volumen einer quadratischen Pyramide

Kegelvolumen

Höhe und Volumen einer Pyramide

Kegel und Zylinder vergleichen