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Strahlensätze

Strahlensätze nutzen parallele Geraden, um Streckenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken zu berechnen.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Strahlensätze

Schneiden zwei parallele Geraden zwei Strahlen mit gemeinsamem Zentrum S, entstehen ähnliche Dreiecke. Entsprechende Strecken stehen im gleichen Verhältnis.

\frac{S A}{S B} = \frac{S A ^{'}}{S B ^{'}} = \frac{A A ^{'}}{B B ^{'}} mit A A^{'} ∥ B B^{'}

Die Bedingung $A A^{'} ∥ B B^{'}$ bedeutet: Die beiden Querstrecken liegen auf parallelen Geraden. Nur dann entstehen ähnliche Dreiecke und die Verhältnisgleichung gilt.

Ordne kleine und grosse Figur konsequent zu. Die Querstrecken $A A^{'}$ und $B B^{'}$ gehören zu denselben Parallelen wie die jeweiligen Strahlstrecken.

Das lernst du

Markiere Zentrum, Strahlen und parallele Querstrecken.
Ordne entsprechende Strecken der ähnlichen Dreiecke zu.
Stelle eine Verhältnisgleichung auf und löse sie nach der gesuchten Länge.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Querstrecke berechnen

Es gilt $S A = 4, S B = 10, A A^{'} = 6$ . Bestimme $B B^{'}$ .

1Verhältnis
$\frac{4}{10} = \frac{6}{B B ^{'}}$
2Kreuzmultiplizieren
$4 B B^{'} = 60 \Rightarrow B B^{'} = 15$

Ergebnis

$B B^{'} = 15$

Musteraufgabe 2

Mittel

Strahlstrecke berechnen

Es gilt $S A = 3, S B = 9, S A^{'} = 5$ . Bestimme $S B^{'}$ .

1Entsprechende Strecken
$\frac{3}{9} = \frac{5}{S B ^{'}}$
2Lösen
$3 S B^{'} = 45 \Rightarrow S B^{'} = 15$

Ergebnis

$S B^{'} = 15$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Querstrecke

$S A = 5$ , $S B = 8$ , $A A^{'} = 10$ . Bestimme BB′.

Aufgabe 2

Einfach

Strahlstrecke

$S A = 6$ , $S B = 15$ , $S A^{'} = 8$ . Bestimme SB′.

Aufgabe 3

Einfach

Vergrösserungsfaktor

$S A = 4$ und $S B = 14$ . Bestimme den Faktor von der kleinen zur grossen Figur.

Aufgabe 4

Einfach

Voraussetzung

Welche Bedingung ist für die Strahlensätze entscheidend?

Aufgabe 5

Mittel

Länge auf einem zweiten Strahl

Von S gehen zwei Strahlen aus. Zwei parallele Geraden schneiden den ersten Strahl bei A und B, den zweiten bei C und D. Es gilt SA = $4 cm$ , SB = $10 cm$ und SC = $6 cm$ . Berechne SD.

Aufgabe 6

Mittel

Äußerer Teilabschnitt

In derselben Strahlensatzfigur gilt SA = $5 cm$ , AB = $3 cm$ und SC = $7, 5 cm$ . Berechne den Teilabschnitt CD.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Parallele Verbindungsstrecken

Zwei parallele Querschnitte in einer Strahlensatzfigur liegen bei $8 cm$ und $12 cm$ Abstand vom Scheitel S. Der nähere Querschnitt ist $10 cm$ lang. Wie lang ist der fernere?

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Strahlensatzgleichung

Für entsprechende Strecken einer Strahlensatzfigur gilt (x + $3$ )/ $6$ = $\frac{15}{10}$ . Bestimme x.

Strahlensätze

Schneiden zwei parallele Geraden zwei Strahlen mit gemeinsamem Zentrum S, entstehen ähnliche Dreiecke. Entsprechende Strecken stehen im gleichen Verhältnis.

\frac{S A}{S B} = \frac{S A ^{'}}{S B ^{'}} = \frac{A A ^{'}}{B B ^{'}} mit A A^{'} ∥ B B^{'}

Die Bedingung $A A^{'} ∥ B B^{'}$ bedeutet: Die beiden Querstrecken liegen auf parallelen Geraden. Nur dann entstehen ähnliche Dreiecke und die Verhältnisgleichung gilt.

Ordne kleine und grosse Figur konsequent zu. Die Querstrecken $A A^{'}$ und $B B^{'}$ gehören zu denselben Parallelen wie die jeweiligen Strahlstrecken.

Das lernst du

Markiere Zentrum, Strahlen und parallele Querstrecken.
Ordne entsprechende Strecken der ähnlichen Dreiecke zu.
Stelle eine Verhältnisgleichung auf und löse sie nach der gesuchten Länge.

Strahlensätze

Strahlensätze

Das lernst du

Querstrecke berechnen

1Verhältnis

2Kreuzmultiplizieren

Strahlstrecke berechnen

1Entsprechende Strecken

2Lösen

Querstrecke

Strahlstrecke

Vergrösserungsfaktor

Voraussetzung

Länge auf einem zweiten Strahl

Äußerer Teilabschnitt

Parallele Verbindungsstrecken

Strahlensatzgleichung

Strahlensätze

Strahlensätze

Das lernst du

Querstrecke berechnen

1Verhältnis

2Kreuzmultiplizieren

Strahlstrecke berechnen

1Entsprechende Strecken

2Lösen

Querstrecke

Strahlstrecke

Vergrösserungsfaktor

Voraussetzung

Länge auf einem zweiten Strahl

Äußerer Teilabschnitt

Parallele Verbindungsstrecken

Strahlensatzgleichung