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Zinseszins

Beim Zinseszins werden erwirtschaftete Zinsen dem Kapital zugeschlagen und in der nächsten Periode mitverzinst.

MathematikSekundarstufe I

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Zinseszins

Beim Zinseszins werden die gutgeschriebenen Zinsen in der nächsten Periode mitverzinst. Das Kapital wächst deshalb exponentiell: Jede Periode wird der aktuelle Betrag mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert.

K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n} = K_{0} q^{n}

Der Exponent $n$ zählt die Zinsperioden. Der gesamte Zinsgewinn nach $n$ Perioden ist $K_{n} - K_{0}$ , nicht einfach $n$ mal der erste Zinsbetrag.

Das lernst du

Bilde aus dem Zinssatz den Wachstumsfaktor q = 1 + p/100.
Setze Anfangskapital und Anzahl Perioden in K_n = K_0 q^n ein.
Unterscheide Endkapital und gesamten Zinsgewinn und runde Geldbeträge auf Rappen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Kapital nach vier Jahren

$5000$ Franken werden vier Jahre lang zu $3 %$ pro Jahr mit Zinseszins angelegt. Berechne das Endkapital.

1Wachstumsfaktor
$q = 1 + 0, 03 = 1, 03$
2Potenzmodell
$K_{4} = 5000 \cdot 1, 0 3^{4}$
3Berechnen und runden
$K_{4} \approx 5627, 54$

Ergebnis

Das Endkapital beträgt rund $5627, 54$ Franken.

Musteraufgabe 2

Mittel

Zinsen des zweiten Jahres

$1000$ Franken werden mit $10 %$ pro Jahr verzinst. Wie hoch ist der Zins im zweiten Jahr?

1Kapital nach einem Jahr
$K_{1} = 1000 \cdot 1, 10 = 1100$
2Zins auf das neue Kapital
$Z_{2} = 1100 \cdot 0, 10 = 110$

Ergebnis

Im zweiten Jahr entstehen $110$ Franken Zins.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Zwei Perioden

$1000$ Franken werden zwei Jahre zu $10 %$ mit Zinseszins angelegt. Berechne das Endkapital.

Aufgabe 2

Einfach

Drei Perioden

$2000$ Franken werden drei Jahre zu $5 %$ angelegt. Berechne das Endkapital.

Aufgabe 3

Einfach

Wachstumsfaktor

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu $2, 5 %$ Zins?

Aufgabe 4

Einfach

Zinsgewinn

Ein Kapital von $4000$ Franken wächst in zwei Jahren bei $5 %$ Zinseszins auf $4410$ Franken. Wie hoch ist der gesamte Zinsgewinn?

Aufgabe 5

Mittel

Kapital nach drei Jahren

$2000$ € werden drei Jahre lang zu $4 %$ jährlich verzinst. Wie hoch ist das Endkapital auf Cent gerundet?

K_{3} = 2000 \cdot 1, 0 4^{3}

Aufgabe 6

Mittel

Vierjährige Zinseszinsanlage

$5000$ € werden vier Jahre zu $2, 5 %$ jährlich angelegt. Berechne das Endkapital auf Cent gerundet.

K_{4} = 5000 \cdot 1, 02 5^{4}

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Anfangskapital rückwärts berechnen

Nach drei Jahren zu $10 %$ jährlichem Zinseszins beträgt das Kapital $13310$ €. Wie hoch war das Anfangskapital?

13310 = K_{0} \cdot 1, 1^{3}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Benötigte Zahl voller Zinsjahre

$8000$ € werden mit $5 %$ Zinseszins angelegt. Nach wie vielen vollen Jahren übersteigt das Kapital erstmals $10000$ €?

8000 \cdot 1, 0 5^{n} > 10000

Zinseszins

K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n} = K_{0} q^{n}

Der Exponent $n$ zählt die Zinsperioden. Der gesamte Zinsgewinn nach $n$ Perioden ist $K_{n} - K_{0}$ , nicht einfach $n$ mal der erste Zinsbetrag.

Das lernst du

Bilde aus dem Zinssatz den Wachstumsfaktor q = 1 + p/100.
Setze Anfangskapital und Anzahl Perioden in K_n = K_0 q^n ein.
Unterscheide Endkapital und gesamten Zinsgewinn und runde Geldbeträge auf Rappen.

Zinseszins

Zinseszins

Das lernst du

Kapital nach vier Jahren

1Wachstumsfaktor

2Potenzmodell

3Berechnen und runden

Zinsen des zweiten Jahres

1Kapital nach einem Jahr

2Zins auf das neue Kapital

Zwei Perioden

Drei Perioden

Wachstumsfaktor

Zinsgewinn

Kapital nach drei Jahren

Vierjährige Zinseszinsanlage

Anfangskapital rückwärts berechnen

Benötigte Zahl voller Zinsjahre

Zinseszins

Zinseszins

Das lernst du

Kapital nach vier Jahren

1Wachstumsfaktor

2Potenzmodell

3Berechnen und runden

Zinsen des zweiten Jahres

1Kapital nach einem Jahr

2Zins auf das neue Kapital

Zwei Perioden

Drei Perioden

Wachstumsfaktor

Zinsgewinn

Kapital nach drei Jahren

Vierjährige Zinseszinsanlage

Anfangskapital rückwärts berechnen

Benötigte Zahl voller Zinsjahre