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Abstand Punkt-Ebene

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene wird über eine senkrechte Verbindung oder die Hesse-Normalform bestimmt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene berechnen

Für eine Ebene in Koordinatenform misst die Hesse-Abstandsformel die Länge entlang der Normalenrichtung.

d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Der Betrag macht den Abstand unabhängig davon, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.

Das lernst du

Setze Punktkoordinaten in die Abstandsformel ein.
Normiere mit der Länge des Normalenvektors.
Prüfe mit Abstand 0, ob ein Punkt in der Ebene liegt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Abstand zur Ebene

Bestimme den Abstand von $P (1∣2∣5)$ zu $E : 2 x - y + 2 z = 3$ .

1Zähler
$∣2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 5 - 3∣ = ∣7∣ = 7$
2Nenner
$2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2} = 3$
3Quotient
$d = \frac{7}{3}$

Ergebnis

$d (P, E) = \frac{7}{3}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Bestimme den Abstand von $P (2∣ - 1∣4)$ zur Ebene E.

E : 2 x + 2 y + z = 3

1Zähler berechnen
$∣2 \cdot 2 + 2 (- 1) + 4 - 3∣ = ∣4 - 2 + 4 - 3∣ = 3$
2Normalenlänge berechnen
$∣ n ∣ = ∣ (2∣2∣1) ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$
3Abstandsformel anwenden
$d (P, E) = \frac{3}{3} = 1$

Ergebnis

Damit ergibt sich:

d (P, E) = 1

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Koordinatenebene

Bestimme den Abstand von $P (2∣ - 3∣7)$ zur xy-Ebene $z = 0$ .

Aufgabe 2

Einfach

Parallel zur yz-Ebene

Bestimme den Abstand von $P (- 4∣2∣1)$ zu $x = 2$ .

Aufgabe 3

Einfach

Hesse-Formel

Bestimme den Abstand von $P (1∣1∣1)$ zu $2 x + 2 y + z = 0$ .

Aufgabe 4

Einfach

Punkt in Ebene

Was bedeutet $d (P, E) = 0$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Abstand zur xy-Ebene

Bestimme den Abstand von $P (1∣2∣3)$ zur xy-Ebene.

E : z = 0

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Hessesche Abstandsformel

Bestimme den Abstand von $P (2∣ - 1∣1)$ zur Ebene E.

E : 2 x - y + 2 z = 1

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Abstand paralleler Ebenen

Bestimme den Abstand der parallelen Ebenen E₁ und E₂.

E_{1} : 2 x - y + 2 z = 3 E_{2} : 2 x - y + 2 z = 12

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Punkte mit vorgegebenem Ebenenabstand

Bestimme alle k, für die $P (k ∣1∣2)$ den Abstand $1$ von E hat.

E : x + 2 y - 2 z = 0

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene berechnen

Für eine Ebene in Koordinatenform misst die Hesse-Abstandsformel die Länge entlang der Normalenrichtung.

d (P, E) = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Der Betrag macht den Abstand unabhängig davon, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.

Das lernst du

Setze Punktkoordinaten in die Abstandsformel ein.
Normiere mit der Länge des Normalenvektors.
Prüfe mit Abstand 0, ob ein Punkt in der Ebene liegt.

Abstand Punkt-Ebene

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene berechnen

Das lernst du

Abstand zur Ebene

1Zähler

2Nenner

3Quotient

Abstand eines Punktes von einer Ebene

1Zähler berechnen

2Normalenlänge berechnen

3Abstandsformel anwenden

Koordinatenebene

Parallel zur yz-Ebene

Hesse-Formel

Punkt in Ebene

Abstand zur xy-Ebene

Hessesche Abstandsformel

Abstand paralleler Ebenen

Punkte mit vorgegebenem Ebenenabstand

Abstand Punkt-Ebene

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene berechnen

Das lernst du

Abstand zur Ebene

1Zähler

2Nenner

3Quotient

Abstand eines Punktes von einer Ebene

1Zähler berechnen

2Normalenlänge berechnen

3Abstandsformel anwenden

Koordinatenebene

Parallel zur yz-Ebene

Hesse-Formel

Punkt in Ebene

Abstand zur xy-Ebene

Hessesche Abstandsformel

Abstand paralleler Ebenen

Punkte mit vorgegebenem Ebenenabstand