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Abstand Punkt-Gerade

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der kürzesten senkrechten Verbindung.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Den kürzesten Abstand eines Punkts von einer Geraden bestimmen

Der Abstand ist die Länge der Senkrechten vom Punkt Q zur Geraden durch P mit Richtung v. Das Kreuzprodukt misst die zur Geraden senkrechte Komponente von PQ.

d (Q, g) = \frac{∣ P Q \times v ∣}{∣ v ∣}

Das lernst du

Bilde den Verbindungsvektor von der Geraden zum Punkt.
Berechne den Abstand mit Kreuzprodukt und Betrag.
Erkenne den Abstand 0 bei einem Punkt auf der Geraden.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Abstand zur x-Achse

Bestimme den Abstand von $Q (2∣3∣4)$ zur x-Achse.

1Geradenpunkt und Richtung
$P = (0∣0∣0) v = (1∣0∣0)$
2Kreuzprodukt
$P Q \times v = (2∣3∣4) \times (1∣0∣0) = (0∣4∣ - 3)$
3Beträge
$d = \frac{4 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}}{1} = 5$

Ergebnis

$d = 5$

Musteraufgabe 2

Mittel

Abstand mit dem Kreuzprodukt

Bestimme den Abstand von $Q (1∣3∣2)$ zur Geraden g.

g : x = (1∣0∣0) + t (0∣2∣1)

1Verbindungsvektor bilden
$P = (1∣0∣0) P Q = (0∣3∣2)$
2Kreuzprodukt berechnen
$P Q \times v = (0∣3∣2) \times (0∣2∣1) = (- 1∣0∣0)$
3Beträge einsetzen
$d (Q, g) = \frac{∣ ( - 1∣0∣0 ) ∣}{∣ ( 0∣2∣1 ) ∣} = \frac{1}{5}$

Ergebnis

Damit ergibt sich:

d (Q, g) = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Zur x-Achse

Bestimme den Abstand von $(5∣6∣8)$ zur x-Achse.

Aufgabe 2

Einfach

Zur y-Achse

Bestimme den Abstand von $(3∣7∣4)$ zur y-Achse.

Aufgabe 3

Einfach

Punkt auf Gerade

Welchen Abstand hat $Q (4∣2∣0)$ von $g : x = t (2∣1∣0)$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Kürzeste Verbindung

Welche Verbindung liefert den Punkt-Geraden-Abstand?

Aufgabe 5

Mittel

Abstand zur x-Achse

Bestimme den Abstand von $Q (2∣3∣4)$ zur x-Achse.

g : x = t (1∣0∣0)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Abstand zu einer achsenparallelen Geraden

Bestimme den Abstand von $Q (4∣5∣0)$ zur Geraden g.

g : x = (1∣1∣0) + t (2∣0∣0)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Abstand mit dem Kreuzprodukt

Bestimme den Abstand von $Q (1∣2∣3)$ zur Geraden durch den Ursprung mit Richtung $v = (1∣1∣1)$ .

d (Q, g) = \frac{∣ O Q \times v ∣}{∣ v ∣}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Allgemeiner Punkt-Geraden-Abstand

Bestimme den Abstand von $Q (2∣0∣2)$ zur Geraden g.

g : x = (1∣ - 1∣0) + t (1∣2∣2)

Den kürzesten Abstand eines Punkts von einer Geraden bestimmen

Der Abstand ist die Länge der Senkrechten vom Punkt Q zur Geraden durch P mit Richtung v. Das Kreuzprodukt misst die zur Geraden senkrechte Komponente von PQ.

d (Q, g) = \frac{∣ P Q \times v ∣}{∣ v ∣}

Das lernst du

Bilde den Verbindungsvektor von der Geraden zum Punkt.
Berechne den Abstand mit Kreuzprodukt und Betrag.
Erkenne den Abstand 0 bei einem Punkt auf der Geraden.

Abstand Punkt-Gerade

Den kürzesten Abstand eines Punkts von einer Geraden bestimmen

Das lernst du

Abstand zur x-Achse

1Geradenpunkt und Richtung

2Kreuzprodukt

3Beträge

Abstand mit dem Kreuzprodukt

1Verbindungsvektor bilden

2Kreuzprodukt berechnen

3Beträge einsetzen

Zur x-Achse

Zur y-Achse

Punkt auf Gerade

Kürzeste Verbindung

Abstand zur x-Achse

Abstand zu einer achsenparallelen Geraden

Abstand mit dem Kreuzprodukt

Allgemeiner Punkt-Geraden-Abstand

Abstand Punkt-Gerade

Den kürzesten Abstand eines Punkts von einer Geraden bestimmen

Das lernst du

Abstand zur x-Achse

1Geradenpunkt und Richtung

2Kreuzprodukt

3Beträge

Abstand mit dem Kreuzprodukt

1Verbindungsvektor bilden

2Kreuzprodukt berechnen

3Beträge einsetzen

Zur x-Achse

Zur y-Achse

Punkt auf Gerade

Kürzeste Verbindung

Abstand zur x-Achse

Abstand zu einer achsenparallelen Geraden

Abstand mit dem Kreuzprodukt

Allgemeiner Punkt-Geraden-Abstand