Themenübersicht

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm zerlegt mehrstufige Zufallsexperimente in Pfade, deren Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Mehrstufige Zufallsversuche mit Baumdiagrammen strukturieren

Jede Stufe eines Baumdiagramms zeigt eine Entscheidung oder einen Versuch. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert; alternative Pfade desselben Ereignisses werden addiert.

P (Pfad) = p_{1} \cdot p_{2} \dots p_{n}

Ohne Zurücklegen ändern sich die Zweigwahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung.

Das lernst du

Beschrifte Äste mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Berechne Pfade mit der Produktregel.
Addiere passende Pfade zu einem Ereignis.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Ziehen ohne Zurücklegen

Eine Urne enthält $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme $P (z w e ima l r o t)$ .

1Erster Ast
$P (R_{1}) = \frac{3}{5}$
2Zweiter Ast
$P (R_{2} ∣ R_{1}) = \frac{2}{4}$
3Pfad multiplizieren
$P (R R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

Ergebnis

$30%$

Musteraufgabe 2

Mittel

Genau eine rote Kugel

Eine Urne enthält $2$ rote und $3$ blaue Kugeln. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel.

Visualisierung zur Aufgabenstruktur

1Günstige Pfade
Genau eine rote Kugel entsteht auf RB oder BR.
$P (R B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} P (B R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$
2Pfadsumme
Addiere die disjunkten Pfade.
$P = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5} = 0, 6$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel beträgt $0, 60$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Pfad

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Bestimme $P (K o p f, K o p f, Z ah l)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Mit Zurücklegen

Eine Urne enthält $2$ rote und $3$ blaue Kugeln. Zweimal mit Zurücklegen: $P (z w e ima l r o t)$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Pfade addieren

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Bestimme $P (g e na u e inma l K o p f)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Knotensumme

Welche Summe haben alle ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten eines Knotens?

Aufgabe 5

Mittel

Zweimal Rot ohne Zurücklegen

Eine Urne enthält $4$ rote und $6$ blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot.

Aufgabe 6

Mittel

Verspätung auf zwei Verkehrswegen

$60 %$ der Fahrgäste nehmen den Zug, $40 %$ den Bus. Beim Zug beträgt die Verspätungswahrscheinlichkeit $0, 15$ , beim Bus $0, 05$ . Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Verspätung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Zweite weiße Kugel bei zwei Urnen

Mit Wahrscheinlichkeit $0, 40$ wird Urne A gewählt ( $3$ weiße, $2$ schwarze Kugeln), sonst Urne B ( $1$ weiße, $4$ schwarze). Aus der gewählten Urne werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel weiß ist, unter der Bedingung, dass die erste Kugel weiß war.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Farbe wechselt in jedem Zug

Eine Urne enthält $5$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne durch Addieren der passenden Baumpfade die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Farbe in jedem Zug ändert.

Mehrstufige Zufallsversuche mit Baumdiagrammen strukturieren

Jede Stufe eines Baumdiagramms zeigt eine Entscheidung oder einen Versuch. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert; alternative Pfade desselben Ereignisses werden addiert.

P (Pfad) = p_{1} \cdot p_{2} \dots p_{n}

Ohne Zurücklegen ändern sich die Zweigwahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung.

Das lernst du

Beschrifte Äste mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Berechne Pfade mit der Produktregel.
Addiere passende Pfade zu einem Ereignis.

Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsversuche mit Baumdiagrammen strukturieren

Das lernst du

Ziehen ohne Zurücklegen

1Erster Ast

2Zweiter Ast

3Pfad multiplizieren

Genau eine rote Kugel

1Günstige Pfade

2Pfadsumme

Pfad

Mit Zurücklegen

Pfade addieren

Knotensumme

Zweimal Rot ohne Zurücklegen

Verspätung auf zwei Verkehrswegen

Zweite weiße Kugel bei zwei Urnen

Farbe wechselt in jedem Zug

Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsversuche mit Baumdiagrammen strukturieren

Das lernst du

Ziehen ohne Zurücklegen

1Erster Ast

2Zweiter Ast

3Pfad multiplizieren

Genau eine rote Kugel

1Günstige Pfade

2Pfadsumme

Pfad

Mit Zurücklegen

Pfade addieren

Knotensumme

Zweimal Rot ohne Zurücklegen

Verspätung auf zwei Verkehrswegen

Zweite weiße Kugel bei zwei Urnen

Farbe wechselt in jedem Zug