Themenübersicht

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten zeigen, wie neue Informationen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verändern.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Wahrscheinlichkeiten unter einer Bedingung neu bewerten

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist bekannt, dass B eingetreten ist. Der neue Ergebnisraum besteht deshalb nur noch aus B.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} (P (B) > 0)

A und B sind genau dann unabhängig, wenn $P (A ∣ B) = P (A)$ gilt.

Das lernst du

Verkleinere den Ergebnisraum auf die gegebene Bedingung.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten aus Schnitt und Bedingung.
Prüfe Ereignisse über bedingte Wahrscheinlichkeiten auf Unabhängigkeit.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In einer Gruppe sind $40 %$ im Chor, $25 %$ im Chor und im Orchester und $50 %$ im Orchester. Bestimme $P (Chor ∣ Orchester)$ .

1Schnitt
$P (C \cap O) = 0, 25$
2Bedingung
$P (O) = 0, 50$
3Quotient
$P (C ∣ O) = \frac{0 , 25}{0 , 50} = 0, 50$

Ergebnis

$50%$

Musteraufgabe 2

Mittel

Kursart unter den Erfolgreichen

Von $72$ Prüflingen bestehen $45$ . Unter den $30$ Online-Lernenden bestehen $21$ . Bestimme $P (O n l in e ∣ b es t an d e n)$ .

Visualisierung zur Aufgabenstruktur

1Bedingten Bezugsraum wählen
Die Bedingung «bestanden» verkleinert den Nenner auf $45$ Personen.
$P (O ∣ B) = \frac{n ( O \cap B )}{n ( B )}$
2Einsetzen
$21$ Personen sind gleichzeitig online und erfolgreich.
$P (O ∣ B) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0, 4667$

Ergebnis

Unter den Erfolgreichen kommen etwa $46, 67 %$ aus dem Onlinekurs.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Quotient

Es gilt $P (A \cap B) = 0, 18$ und $P (B) = 0, 30$ . Bestimme $P (A ∣ B)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Schnitt bestimmen

Es gilt $P (A ∣ B) = 0, 4$ und $P (B) = 0, 5$ . Bestimme $P (A \cap B)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Reihenfolge

Sind $P (A ∣ B)$ und $P (B ∣ A)$ immer gleich?

Aufgabe 4

Einfach

Unabhängigkeit

Es gilt $P (A) = 0, 3$ und $P (A ∣ B) = 0, 3$ . Was folgt?

Aufgabe 5

Mittel

Verspätet unter Busfahrenden

Von $200$ Lernenden fahren $80$ mit dem Bus. $28$ dieser Busfahrenden kommen verspätet. Bestimme $P (v er s p \overset{a}{¨} t e t ∣ B u s)$ .

Aufgabe 6

Mittel

Onlinekurs unter Erfolgreichen

$54$ von $90$ Teilnehmenden bestehen eine Prüfung. $27$ der Erfolgreichen haben einen Onlinekurs besucht. Berechne $P (O n l in e k u r s ∣ b es t an d e n)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Zweite rote Kugel unter mindestens einer Roten

Eine Urne enthält $4$ rote und $6$ blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, unter der Bedingung, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Zwei Asse unter mindestens einem Ass

Aus einem Kartenspiel mit $52$ Karten und $4$ Assen werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Gegeben ist, dass mindestens ein Ass darunter ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Asse sind?

Wahrscheinlichkeiten unter einer Bedingung neu bewerten

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist bekannt, dass B eingetreten ist. Der neue Ergebnisraum besteht deshalb nur noch aus B.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} (P (B) > 0)

A und B sind genau dann unabhängig, wenn $P (A ∣ B) = P (A)$ gilt.

Das lernst du

Verkleinere den Ergebnisraum auf die gegebene Bedingung.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten aus Schnitt und Bedingung.
Prüfe Ereignisse über bedingte Wahrscheinlichkeiten auf Unabhängigkeit.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeiten unter einer Bedingung neu bewerten

Das lernst du

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Schnitt

2Bedingung

3Quotient

Kursart unter den Erfolgreichen

1Bedingten Bezugsraum wählen

2Einsetzen

Quotient

Schnitt bestimmen

Reihenfolge

Unabhängigkeit

Verspätet unter Busfahrenden

Onlinekurs unter Erfolgreichen

Zweite rote Kugel unter mindestens einer Roten

Zwei Asse unter mindestens einem Ass

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeiten unter einer Bedingung neu bewerten

Das lernst du

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1Schnitt

2Bedingung

3Quotient

Kursart unter den Erfolgreichen

1Bedingten Bezugsraum wählen

2Einsetzen

Quotient

Schnitt bestimmen

Reihenfolge

Unabhängigkeit

Verspätet unter Busfahrenden

Onlinekurs unter Erfolgreichen

Zweite rote Kugel unter mindestens einer Roten

Zwei Asse unter mindestens einem Ass