Themenübersicht

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral berechnet die orientierte Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Intervall.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Bestimmte Integrale auswerten

Ein bestimmtes Integral summiert orientierte Beiträge von a bis b und ergibt eine Zahl.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, darunter negativ. Deshalb ist ein bestimmtes Integral nicht automatisch ein geometrischer Flächeninhalt.

Das lernst du

Bestimme eine Stammfunktion und werte F(b) − F(a) aus.
Deute das bestimmte Integral als orientierten Flächenwert.
Nutze Symmetrie und vertauschte Grenzen zur Kontrolle.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Positives Integral

Berechne $\int_{1}^{3} 2 x d x$ .

1Stammfunktion
$F (x) = x^{2}$
2Grenzen
$[x^{2}]_{1}^{3} = 3^{2} - 1^{2}$
3Resultat
$9 - 1 = 8$

Ergebnis

$\int_{1}^{3} 2 x d x = 8$

Musteraufgabe 2

Mittel

Symmetrische Aufhebung

Berechne $\int_{- 1}^{1} x d x$ .

1Stammfunktion
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
2Auswerten
$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 1)^{2} = 0$
3Deutung
Die gleich grossen Flächen links und rechts haben entgegengesetzte Vorzeichen.

Ergebnis

$0$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Potenzintegral

Berechne $\int_{0}^{2} x^{2} d x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Konstanter Integrand

Berechne $\int_{2}^{5} 4 d x$ .

Aufgabe 3

Einfach

Grenzen vertauschen

Es gilt $\int_{1}^{4} f (x) d x = 7$ . Bestimme $\int_{4}^{1} f (x) d x$ .

Aufgabe 4

Einfach

Orientierung

Kann ein bestimmtes Integral negativ sein?

Aufgabe 5

Mittel

Polynomintegral mit zwei Grenzen

Berechne das bestimmte Integral.

\int_{- 1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Integral der e-Funktion

Berechne das bestimmte Integral exakt.

\int_{0}^{l n 3} e^{x} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Betragsfunktion integrieren

Berechne das bestimmte Integral. Teile an der Nullstelle auf.

\int_{- 2}^{1} ∣ x ∣ d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wurzel und Logarithmus

Berechne das bestimmte Integral exakt.

\int_{1}^{4} (x + \frac{1}{x}) d x

Bestimmte Integrale auswerten

Ein bestimmtes Integral summiert orientierte Beiträge von a bis b und ergibt eine Zahl.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, darunter negativ. Deshalb ist ein bestimmtes Integral nicht automatisch ein geometrischer Flächeninhalt.

Das lernst du

Bestimme eine Stammfunktion und werte F(b) − F(a) aus.
Deute das bestimmte Integral als orientierten Flächenwert.
Nutze Symmetrie und vertauschte Grenzen zur Kontrolle.

Bestimmtes Integral

Bestimmte Integrale auswerten

Das lernst du

Positives Integral

1Stammfunktion

2Grenzen

3Resultat

Symmetrische Aufhebung

1Stammfunktion

2Auswerten

3Deutung

Potenzintegral

Konstanter Integrand

Grenzen vertauschen

Orientierung

Polynomintegral mit zwei Grenzen

Integral der e-Funktion

Betragsfunktion integrieren

Wurzel und Logarithmus

Bestimmtes Integral

Bestimmte Integrale auswerten

Das lernst du

Positives Integral

1Stammfunktion

2Grenzen

3Resultat

Symmetrische Aufhebung

1Stammfunktion

2Auswerten

3Deutung

Potenzintegral

Konstanter Integrand

Grenzen vertauschen

Orientierung

Polynomintegral mit zwei Grenzen

Integral der e-Funktion

Betragsfunktion integrieren

Wurzel und Logarithmus