Themenübersicht

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und wird mit dem Satz des Pythagoras aus seinen Komponenten berechnet.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Die Länge eines Vektors berechnen

Der Betrag eines Vektors ist die Länge seines Pfeils. Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du ihn aus den Komponenten.

∣ v ∣ = ∥ v ∥ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

Für den Verbindungsvektor zweier Punkte entspricht der Betrag genau dem Abstand der Punkte.

Das lernst du

Berechne Vektorlängen mit dem Satz des Pythagoras.
Bestimme Punktabstände über Verbindungsvektoren.
Prüfe Resultate auf Nichtnegativität und sinnvolle Grössenordnung.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Vektorlänge im Raum

Bestimme den Betrag von $v = (3∣4∣12)$ .

1Formel einsetzen
$∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2}$
2Quadrate addieren
$9 + 16 + 144 = 169$
3Wurzel ziehen
$∣ v ∣ = 169 = 13$

Ergebnis

$∣ v ∣ = 13$

Musteraufgabe 2

Mittel

Abstand zweier Punkte

Bestimme den Abstand von $A (1∣2∣0)$ und $B (4∣6∣0)$ .

1Verbindungsvektor
$A B = (3∣4∣0)$
2Betrag bilden
$d (A, B) = 3^{2} + 4^{2} + 0^{2}$
3Resultat
$d (A, B) = 5$

Ergebnis

Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Vektorlänge

Berechne $∣ (6∣8) ∣$ .

Aufgabe 2

Einfach

Länge im Raum

Berechne $∣ (2∣ - 3∣6) ∣$ .

Aufgabe 3

Einfach

Punktabstand

Welchen Abstand haben $A (- 1∣2)$ und $B (2∣6)$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Betrag beurteilen

Welche Aussage stimmt?

Aufgabe 5

Mittel

Vektorlänge im Koordinatensystem

Berechne den Betrag von $v = (3∣4)$ .

∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Abstand zweier Raumpunkte

Bestimme den Abstand zwischen $A (1∣ - 2∣3)$ und $B (5∣1∣ - 3)$ .

d (A, B) = ∣ A B ∣

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Komponente aus einer vorgegebenen Länge

Für k > $0$ hat $v = (k ∣2∣ - 2)$ den Betrag $6$ . Bestimme k.

k^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2} = 6

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Umfang eines Koordinatendreiecks

Berechne den Umfang des Dreiecks $A (0∣0∣0)$ , $B (3∣0∣0)$ , $C (0∣4∣0)$ .

U = ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ + ∣ C A ∣

Die Länge eines Vektors berechnen

Der Betrag eines Vektors ist die Länge seines Pfeils. Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du ihn aus den Komponenten.

∣ v ∣ = ∥ v ∥ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

Für den Verbindungsvektor zweier Punkte entspricht der Betrag genau dem Abstand der Punkte.

Das lernst du

Berechne Vektorlängen mit dem Satz des Pythagoras.
Bestimme Punktabstände über Verbindungsvektoren.
Prüfe Resultate auf Nichtnegativität und sinnvolle Grössenordnung.

Betrag eines Vektors

Die Länge eines Vektors berechnen

Das lernst du

Vektorlänge im Raum

1Formel einsetzen

2Quadrate addieren

3Wurzel ziehen

Abstand zweier Punkte

1Verbindungsvektor

2Betrag bilden

3Resultat

Vektorlänge

Länge im Raum

Punktabstand

Betrag beurteilen

Vektorlänge im Koordinatensystem

Abstand zweier Raumpunkte

Komponente aus einer vorgegebenen Länge

Umfang eines Koordinatendreiecks

Betrag eines Vektors

Die Länge eines Vektors berechnen

Das lernst du

Vektorlänge im Raum

1Formel einsetzen

2Quadrate addieren

3Wurzel ziehen

Abstand zweier Punkte

1Verbindungsvektor

2Betrag bilden

3Resultat

Vektorlänge

Länge im Raum

Punktabstand

Betrag beurteilen

Vektorlänge im Koordinatensystem

Abstand zweier Raumpunkte

Komponente aus einer vorgegebenen Länge

Umfang eines Koordinatendreiecks