Themenübersicht

Bewegungsaufgaben

Bei Bewegungsaufgaben beschreiben Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion denselben Vorgang aus verschiedenen Blickwinkeln.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Bewegungen mit Ableitungen beschreiben

Eine Orts- oder Wegfunktion $s (t)$ beschreibt die Position zur Zeit t. Ihre erste Ableitung ist die momentane Geschwindigkeit, die zweite die Beschleunigung.

v (t) = s^{'} (t) a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)

Bei $v (t) = 0$ ruht der Körper momentan. Ein Vorzeichenwechsel von v zeigt einen Richtungswechsel; das Vorzeichen von a zeigt, wie sich die Geschwindigkeit verändert.

Das lernst du

Leite aus s(t) Geschwindigkeit und Beschleunigung ab.
Bestimme Ruhezeitpunkte, Positionen und Richtungswechsel.
Deute Vorzeichen und Einheiten von v und a im Bewegungsablauf.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Bewegung mit zwei Ruhezeitpunkten

Gegeben ist $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ für $t \geq 0$ . Bestimme Ruhezeitpunkte und Positionen.

1Geschwindigkeit
$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3)$
2Ruhezeitpunkte
$v (t) = 0 \Rightarrow t = 1 oder t = 3$
3Positionen
$s (1) = 4 s (3) = 0$

Ergebnis

Der Körper ruht bei $(t, s) = (1, 4)$ und $(3, 0)$ ; zwischen $1$ und $3$ ist v negativ, also bewegt er sich zurück.

Musteraufgabe 2

Mittel

Senkrechter Wurf im Modell

Die Höhe lautet $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ . Wann wird die maximale Höhe erreicht und wie gross ist sie?

1Vertikalgeschwindigkeit
$v (t) = h^{'} (t) = 20 - 10 t$
2Höchster Punkt
$20 - 10 t = 0 \Rightarrow t = 2 s$ $h^{''} (t) = - 10 < 0$
3Höhe
$h (2) = 40 - 20 = 20 m$

Ergebnis

Nach $2$ Sekunden beträgt die maximale Höhe $20 m$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ruhezeitpunkt

Für $s (t) = t^{2} - 4 t$ : Zu welcher Zeit ist der Körper momentan in Ruhe?

Aufgabe 2

Einfach

Momentangeschwindigkeit

Berechne $v (2)$ für $s (t) = t^{3}$ .

Aufgabe 3

Einfach

Zeit bis zum höchsten Punkt

Für $h (t) = 15 t - 5 t^{2}$ : Nach wie vielen Sekunden ist die maximale Höhe erreicht?

Aufgabe 4

Einfach

Richtungswechsel

Woran erkennst du einen Richtungswechsel?

Aufgabe 5

Mittel

Momentangeschwindigkeit

Der Ort eines Körpers ist $s (t) = t^{2}$ + $2 t$ in Metern. Bestimme seine Geschwindigkeit bei t = $3 s$ .

Aufgabe 6

Mittel

Zeitpunkt ohne Beschleunigung

Ein Körper bewegt sich nach $s (t) = t^{3}$ − $6 t^{2} + 9 t$ . Zu welchem Zeitpunkt ist seine Beschleunigung null?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Ruhezeitpunkte einer Bewegung

Für $s (t) = t^{3}$ − $6 t^{2} + 9 t$ mit t ≥ $0$ : Bestimme alle Zeitpunkte, an denen der Körper momentan ruht.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Maximale Höhe eines senkrechten Wurfs

Die Höhe eines Körpers wird durch $h (t)$ = $20 t$ − $5 t^{2}$ in Metern beschrieben. Bestimme die maximal erreichte Höhe.

Bewegungen mit Ableitungen beschreiben

Eine Orts- oder Wegfunktion $s (t)$ beschreibt die Position zur Zeit t. Ihre erste Ableitung ist die momentane Geschwindigkeit, die zweite die Beschleunigung.

v (t) = s^{'} (t) a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)

Bei $v (t) = 0$ ruht der Körper momentan. Ein Vorzeichenwechsel von v zeigt einen Richtungswechsel; das Vorzeichen von a zeigt, wie sich die Geschwindigkeit verändert.

Das lernst du

Leite aus s(t) Geschwindigkeit und Beschleunigung ab.
Bestimme Ruhezeitpunkte, Positionen und Richtungswechsel.
Deute Vorzeichen und Einheiten von v und a im Bewegungsablauf.

Bewegungsaufgaben

Bewegungen mit Ableitungen beschreiben

Das lernst du

Bewegung mit zwei Ruhezeitpunkten

1Geschwindigkeit

2Ruhezeitpunkte

3Positionen

Senkrechter Wurf im Modell

1Vertikalgeschwindigkeit

2Höchster Punkt

3Höhe

Ruhezeitpunkt

Momentangeschwindigkeit

Zeit bis zum höchsten Punkt

Richtungswechsel

Momentangeschwindigkeit

Zeitpunkt ohne Beschleunigung

Ruhezeitpunkte einer Bewegung

Maximale Höhe eines senkrechten Wurfs

Bewegungsaufgaben

Bewegungen mit Ableitungen beschreiben

Das lernst du

Bewegung mit zwei Ruhezeitpunkten

1Geschwindigkeit

2Ruhezeitpunkte

3Positionen

Senkrechter Wurf im Modell

1Vertikalgeschwindigkeit

2Höchster Punkt

3Höhe

Ruhezeitpunkt

Momentangeschwindigkeit

Zeit bis zum höchsten Punkt

Richtungswechsel

Momentangeschwindigkeit

Zeitpunkt ohne Beschleunigung

Ruhezeitpunkte einer Bewegung

Maximale Höhe eines senkrechten Wurfs