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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Erfolgszahl in gleichartigen Versuchen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Trefferzahlen binomialverteilt berechnen

Bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit p zählt X die Treffer. Dann ist X binomialverteilt.

X \sim B (n, p) P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Positionen der k Treffer; die Potenzen geben die Wahrscheinlichkeit jedes passenden Pfads.

Das lernst du

Erkenne n, p und die Trefferzahl X.
Berechne Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = k).
Prüfe, ob das Binomialmodell zur Situation passt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Genau zwei Treffer

Ein fairer Würfel wird viermal geworfen. X zählt die Sechsen. Bestimme $P (X = 2)$ .

1Parameter
$n = 4 p = \frac{1}{6 ,} k = 2$
2Formel
$P (X = 2) = (2 4) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$
3Ausrechnen
$P (X = 2) = \frac{150}{1296} \approx 0, 1157$

Ergebnis

$P (X = 2) \approx 11, 6%$

Musteraufgabe 2

Mittel

Drei Treffer in sechs Versuchen

Für X~ $B (6; 0, 4)$ berechne $P (X = 3)$ .

Visualisierung zur Aufgabenstruktur

1Einzelwahrscheinlichkeit
Setze $n = 6$ , $k = 3$ und $p = 0$ , $4$ in die Binomialformel ein.
$P (X = 3) = (3 6) 0, 4^{3} 0, 6^{3}$
2Auswerten
$6$ über $3$ ist $20$ .
$20 \cdot 0, 064 \cdot 0, 216 = 0, 27648$

Ergebnis

$P (X = 3) = 0$ , $27648$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Faire Münze

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Bestimme $P (g e na u z w e i K \overset{o}{¨} p f e)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Kein Treffer

Für $X \sim B (2, 0, 3)$ : Bestimme $P (X = 0)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Alle Treffer

Für $X \sim B (3, 0, 8)$ : Bestimme $P (X = 3)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Modellwahl

Welche Situation ist binomial modellierbar?

Aufgabe 5

Mittel

Genau zwei Treffer

Für X~ $B (8; 0, 25)$ berechne die Wahrscheinlichkeit $P (X = 2)$ .

X \sim B (8; 0, 25)

Aufgabe 6

Mittel

Nur Treffer

Für X~ $B (10; 0, 6)$ berechne $P (X = 10)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Rechter Rand bei symmetrischer Binomialverteilung

Es gilt X~ $B (12; 0, 5)$ . Berechne $P (X \geq 10)$ exakt als Dezimalzahl oder Bruch.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

p aus Erwartungswert und Varianz

Für X~ $B (n; p)$ gilt $E (X) = 12$ und $V a r (X) = 3$ . Bestimme p.

Trefferzahlen binomialverteilt berechnen

Bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit p zählt X die Treffer. Dann ist X binomialverteilt.

X \sim B (n, p) P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Positionen der k Treffer; die Potenzen geben die Wahrscheinlichkeit jedes passenden Pfads.

Das lernst du

Erkenne n, p und die Trefferzahl X.
Berechne Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = k).
Prüfe, ob das Binomialmodell zur Situation passt.

Binomialverteilung

Trefferzahlen binomialverteilt berechnen

Das lernst du

Genau zwei Treffer

1Parameter

2Formel

3Ausrechnen

Drei Treffer in sechs Versuchen

1Einzelwahrscheinlichkeit

2Auswerten

Faire Münze

Kein Treffer

Alle Treffer

Modellwahl

Genau zwei Treffer

Nur Treffer

Rechter Rand bei symmetrischer Binomialverteilung

p aus Erwartungswert und Varianz

Binomialverteilung

Trefferzahlen binomialverteilt berechnen

Das lernst du

Genau zwei Treffer

1Parameter

2Formel

3Ausrechnen

Drei Treffer in sechs Versuchen

1Einzelwahrscheinlichkeit

2Auswerten

Faire Münze

Kein Treffer

Alle Treffer

Modellwahl

Genau zwei Treffer

Nur Treffer

Rechter Rand bei symmetrischer Binomialverteilung

p aus Erwartungswert und Varianz