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Definitionsmenge und Wertemenge

Definitionsmenge und Wertemenge legen fest, welche Eingaben möglich sind und welche Funktionswerte entstehen können.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge $D$ enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge $W$ alle tatsächlich auftretenden Funktionswerte, also y-Werte. Einschränkungen entstehen besonders bei Nennern, geraden Wurzeln und Logarithmen.

Nenner \neq = 0 Radikand \geq 0 Logarithmusargument > 0

Für die Wertemenge untersuchst du, welche y-Werte der Term oder Graph erreichen kann. Verschiebungen verändern dabei oft eine untere Grenze oder eine ausgeschlossene Asymptote.

Das lernst du

Leite Definitionsbedingungen aus Nenner, Wurzel und Logarithmus ab.
Bestimme Wertemengen aus Grundfunktion, Verschiebung und Streckung.
Notiere Mengen mit Intervallen oder ausgeschlossenen Einzelwerten.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Verschobene Wurzelfunktion

Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f (x) = 2 x - 6$ .

1Radikand nicht negativ
$2 x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
2Definitionsmenge
$D_{f} = [3, \infty)$
3Wurzelwerte
Eine Quadratwurzel ist nie negativ und kann hier beliebig gross werden.
$W_{f} = [0, \infty)$

Ergebnis

$D_{f} = [3, \infty)$ und $W_{f} = [0, \infty)$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Gebrochenrationale Funktion

Bestimme $D$ und $W$ von $g (x) = \frac{3}{x + 2} - 1$ .

1Nennerbedingung
$x + 2 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 2$
2Definitionsmenge
$D_{g} = R ∖ {- 2}$
3Ausgeschlossener Funktionswert
Der Bruch $\frac{3}{x + 2}$ wird nie $0$ . Daher wird $y = - 1$ nicht erreicht.
$W_{g} = R ∖ {- 1}$

Ergebnis

$D_{g} = R ∖ {- 2}$ und $W_{g} = R ∖ {- 1}$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Nenner null

Welcher x-Wert ist bei $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ ausgeschlossen?

Aufgabe 2

Einfach

Wurzelbedingung

Für $g (x) = 10 - 2 x$ gilt $x \leq b$ . Bestimme b.

Aufgabe 3

Einfach

Logarithmusargument

Welche Definitionsmenge hat $h (x) = ln (x + 3)$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Wertemenge einer Parabel

Bestimme den kleinsten Funktionswert von $p (x) = (x - 2)^{2} + 1$ .

Aufgabe 5

Mittel

Definitionsmenge eines Bruchterms

Bestimme die maximale Definitionsmenge der folgenden Funktion.

f (x) = \frac{1}{x - 4}

Aufgabe 6

Mittel

Wertemenge aus dem Graphen

Lies die Wertemenge ausschliesslich aus dem dargestellten Graphen ab.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Definitionsmenge einer Wurzel aus einem Quotienten

Bestimme die Definitionsmenge von $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wertemenge einer Exponentialfunktion

Bestimme die Wertemenge der folgenden Funktion für alle reellen x.

f (x) = 2 - 3 e^{- x} x \in R

Definitionsmenge und Wertemenge

Nenner \neq = 0 Radikand \geq 0 Logarithmusargument > 0

Für die Wertemenge untersuchst du, welche y-Werte der Term oder Graph erreichen kann. Verschiebungen verändern dabei oft eine untere Grenze oder eine ausgeschlossene Asymptote.

Das lernst du

Leite Definitionsbedingungen aus Nenner, Wurzel und Logarithmus ab.
Bestimme Wertemengen aus Grundfunktion, Verschiebung und Streckung.
Notiere Mengen mit Intervallen oder ausgeschlossenen Einzelwerten.

Definitionsmenge und Wertemenge

Definitionsmenge und Wertemenge

Das lernst du

Verschobene Wurzelfunktion

1Radikand nicht negativ

2Definitionsmenge

3Wurzelwerte

Gebrochenrationale Funktion

1Nennerbedingung

2Definitionsmenge

3Ausgeschlossener Funktionswert

Nenner null

Wurzelbedingung

Logarithmusargument

Wertemenge einer Parabel

Definitionsmenge eines Bruchterms

Wertemenge aus dem Graphen

Definitionsmenge einer Wurzel aus einem Quotienten

Wertemenge einer Exponentialfunktion

Definitionsmenge und Wertemenge

Definitionsmenge und Wertemenge

Das lernst du

Verschobene Wurzelfunktion

1Radikand nicht negativ

2Definitionsmenge

3Wurzelwerte

Gebrochenrationale Funktion

1Nennerbedingung

2Definitionsmenge

3Ausgeschlossener Funktionswert

Nenner null

Wurzelbedingung

Logarithmusargument

Wertemenge einer Parabel

Definitionsmenge eines Bruchterms

Wertemenge aus dem Graphen

Definitionsmenge einer Wurzel aus einem Quotienten

Wertemenge einer Exponentialfunktion