Themenübersicht

e-Funktion ableiten

Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten und bildet damit die Grundlage vieler Wachstumsmodelle.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Exponentialfunktionen ableiten

Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Steht im Exponenten eine innere Funktion, kommt durch die Kettenregel deren Ableitung als Faktor hinzu.

(e^{x})^{'} = e^{x} (e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

Für eine allgemeine Basis $a > 0$ gilt $(a^{x})^{'} = ln (a) a^{x}$ . Produkte mit Exponentialfunktionen benötigen zusätzlich die Produktregel.

Das lernst du

Leite e^x und e^{u(x)} mit der Kettenregel ab.
Leite Exponentialfunktionen mit allgemeiner Basis ab.
Kombiniere Exponential-, Produkt- und Summenregel.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Lineare Funktion im Exponenten

Leite $f (x) = e^{3 x - 2}$ ab.

1Innere Funktion
$u (x) = 3 x - 2 u^{'} (x) = 3$
2Äussere Funktion
Die Ableitung von $e^{u}$ ist wieder $e^{u}$ .
3Kettenregel
$f^{'} (x) = 3 e^{3 x - 2}$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 3 e^{3 x - 2}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Produkt mit eˣ

Leite $g (x) = x^{2} e^{x}$ ab.

1Faktoren
$u = x^{2}, u^{'} = 2 x v = e^{x}, v^{'} = e^{x}$
2Produktregel
$g^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$
3Ausklammern
$g^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x) = x e^{x} (x + 2)$

Ergebnis

$g^{'} (x) = x e^{x} (x + 2)$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Innerer Faktor

Für $f (x) = e^{5 x}$ gilt $f^{'} (x) = k e^{5 x}$ . Bestimme k.

Aufgabe 2

Einfach

Quadratischer Exponent

Berechne $f^{'} (1)$ für $f (x) = e^{x^{2}}$ . Runde auf drei Dezimalstellen.

Aufgabe 3

Einfach

Allgemeine Basis

Berechne die Ableitung von $f (x) = 2^{x}$ bei $x = 0$ auf drei Dezimalstellen.

Aufgabe 4

Einfach

Negativer Exponent

Bestimme $g^{'} (0)$ für $g (x) = e^{- x}$ .

Aufgabe 5

Mittel

Vielfaches der e-Funktion

Leite $f (x) = 4 e^{x}$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

e-Funktion mit linearem Exponenten

Leite $f (x) = e^{3 x - 2}$ ab.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Produkt mit negativem Exponenten

Leite $f (x) = x^{2} e^{- x}$ ab und klammere $e^{- x}$ aus.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Zweite Ableitung einer verketteten e-Funktion

Für $f (x) = e^{x^{2}}$ : Berechne $f^{''} (0)$ .

Exponentialfunktionen ableiten

Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung. Steht im Exponenten eine innere Funktion, kommt durch die Kettenregel deren Ableitung als Faktor hinzu.

(e^{x})^{'} = e^{x} (e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

Für eine allgemeine Basis $a > 0$ gilt $(a^{x})^{'} = ln (a) a^{x}$ . Produkte mit Exponentialfunktionen benötigen zusätzlich die Produktregel.

Das lernst du

Leite e^x und e^{u(x)} mit der Kettenregel ab.
Leite Exponentialfunktionen mit allgemeiner Basis ab.
Kombiniere Exponential-, Produkt- und Summenregel.

e-Funktion ableiten

Exponentialfunktionen ableiten

Das lernst du

Lineare Funktion im Exponenten

1Innere Funktion

2Äussere Funktion

3Kettenregel

Produkt mit eˣ

1Faktoren

2Produktregel

3Ausklammern

Innerer Faktor

Quadratischer Exponent

Allgemeine Basis

Negativer Exponent

Vielfaches der e-Funktion

e-Funktion mit linearem Exponenten

Produkt mit negativem Exponenten

Zweite Ableitung einer verketteten e-Funktion

e-Funktion ableiten

Exponentialfunktionen ableiten

Das lernst du

Lineare Funktion im Exponenten

1Innere Funktion

2Äussere Funktion

3Kettenregel

Produkt mit eˣ

1Faktoren

2Produktregel

3Ausklammern

Innerer Faktor

Quadratischer Exponent

Allgemeine Basis

Negativer Exponent

Vielfaches der e-Funktion

e-Funktion mit linearem Exponenten

Produkt mit negativem Exponenten

Zweite Ableitung einer verketteten e-Funktion