Themenübersicht

Ebenengleichung

Eine Ebene wird durch Punkte und Richtungen oder durch einen Normalenvektor eindeutig beschrieben.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Ebenen mit Punkt und Normalenrichtung beschreiben

Eine Ebene wird durch einen Punkt P und zwei unabhängige Richtungen oder durch P und einen Normalenvektor n festgelegt. Die Normalenform fordert, dass der Verbindungsvektor von P zu jedem Ebenenpunkt senkrecht auf n steht.

E : n \cdot (x - p) = 0

Das lernst du

Stelle die Normalenform aus Punkt und Normalenvektor auf.
Prüfe Punkte durch Einsetzen.
Wechsle zwischen Normalen- und Koordinatenform.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Normalenform aufstellen

Bestimme die Ebene durch $P (1∣ - 2∣3)$ mit $n = (2∣1∣ - 1)$ .

1Normalenform
$(2∣1∣ - 1) \cdot ((x ∣ y ∣ z) - (1∣ - 2∣3)) = 0$
2Ausmultiplizieren
$2 (x - 1) + (y + 2) - (z - 3) = 0$
3Vereinfachen
$2 x + y - z = - 3$

Ergebnis

$E : 2 x + y - z = - 3$

Musteraufgabe 2

Mittel

Normalenform aus Punkt und Normale

Bestimme die Ebene durch $P (- 1∣2∣0)$ mit Normalenvektor $n = (3∣1∣ - 2)$ .

n \cdot (x - p) = 0

1Punkt und Normale einsetzen
$(3∣1∣ - 2) \cdot ((x ∣ y ∣ z) - (- 1∣2∣0)) = 0$
2Skalarprodukt ausschreiben
$3 (x + 1) + (y - 2) - 2 z = 0$
3Koordinatenform ordnen
$3 x + y - 2 z = - 1$

Ergebnis

Damit ergibt sich:

E : 3 x + y - 2 z = - 1

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Konstante

Die Ebene durch $P (1∣2∣3)$ mit $n = (1∣0∣2)$ hat die Form $x + 2 z = d$ . Bestimme d.

Aufgabe 2

Einfach

Punktprobe

Liegt $Q (1∣1∣0)$ auf $E : x + y + z = 2$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Normale

Welche z-Komponente hat ein Normalenvektor von $E : 3 x - 2 y + 5 z = 7$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Gleiche Ebene

Beschreiben $x + y + z = 1$ und $2 x + 2 y + 2 z = 2$ dieselbe Ebene?

Aufgabe 5

Mittel

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Stelle die Ebenengleichung durch $P (2∣1∣ - 1)$ mit Normalenvektor $n = (1∣ - 2∣3)$ auf.

n \cdot (x - p) = 0

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Punktprobe in einer Ebene

Prüfe, ob $Q (1∣2∣0)$ in der Ebene E liegt.

E : 2 x - y + z = 0

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Ebene durch drei Achsenpunkte

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch $A (1∣0∣0)$ , $B (0∣1∣0)$ , $C (0∣0∣1)$ .

E : a x + b y + cz = d

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter einer Ebenenschar

Bestimme a so, dass $P (1∣1∣0)$ in der Ebene Eₐ liegt. Gib danach einen Normalenvektor an.

E_{a} : a x + 2 y - z = 4

Ebenen mit Punkt und Normalenrichtung beschreiben

E : n \cdot (x - p) = 0

Das lernst du

Stelle die Normalenform aus Punkt und Normalenvektor auf.
Prüfe Punkte durch Einsetzen.
Wechsle zwischen Normalen- und Koordinatenform.

Ebenengleichung

Ebenen mit Punkt und Normalenrichtung beschreiben

Das lernst du

Normalenform aufstellen

1Normalenform

2Ausmultiplizieren

3Vereinfachen

Normalenform aus Punkt und Normale

1Punkt und Normale einsetzen

2Skalarprodukt ausschreiben

3Koordinatenform ordnen

Konstante

Punktprobe

Normale

Gleiche Ebene

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Punktprobe in einer Ebene

Ebene durch drei Achsenpunkte

Parameter einer Ebenenschar

Ebenengleichung

Ebenen mit Punkt und Normalenrichtung beschreiben

Das lernst du

Normalenform aufstellen

1Normalenform

2Ausmultiplizieren

3Vereinfachen

Normalenform aus Punkt und Normale

1Punkt und Normale einsetzen

2Skalarprodukt ausschreiben

3Koordinatenform ordnen

Konstante

Punktprobe

Normale

Gleiche Ebene

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Punktprobe in einer Ebene

Ebene durch drei Achsenpunkte

Parameter einer Ebenenschar