Themenübersicht

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor hat die Länge eins und bewahrt nur die Richtung eines Vektors.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Einen Vektor auf die Länge 1 normieren

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1$ und beschreibt damit nur eine Richtung. Du erhältst ihn, indem du einen Vektor durch seinen Betrag teilst.

e_{v} = \frac{v}{∣ v ∣} (v \neq = 0)

Beim Normieren werden alle Komponenten mit demselben positiven Faktor skaliert. Die Richtung bleibt deshalb erhalten.

Das lernst du

Bestimme einen Einheitsvektor in gegebener Richtung.
Kontrolliere die Länge eines normierten Vektors.
Erzeuge Vektoren mit vorgegebener Länge und Richtung.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Vektor normieren

Bestimme den Einheitsvektor in Richtung $v = (3∣4∣0)$ .

1Betrag berechnen
$∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
2Durch den Betrag teilen
$e_{v} = \frac{1}{5} (3∣4∣0)$
3Kontrollieren
$∣ e_{v} ∣ = (\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = 1$

Ergebnis

$e_{v} = (\frac{3}{5} ∣ \frac{4}{5} ∣0)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Vorgegebene Länge

Bestimme den Vektor der Länge $6$ in Richtung $a = (0∣ - 2∣0)$ .

1Einheitsrichtung
$e_{a} = (0∣ - 1∣0)$
2Auf Länge 6 skalieren
$w = 6 e_{a}$
3Resultat
$w = (0∣ - 6∣0)$

Ergebnis

$w = (0∣ - 6∣0)$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Normieren

Welche x-Komponente hat der Einheitsvektor in Richtung $(5∣0∣0)$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Negative Richtung

Welche y-Komponente hat der Einheitsvektor in Richtung $(0∣ - 7∣0)$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Komponente

Welche erste Komponente hat der Einheitsvektor zu $(8∣6)$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Normierbarkeit

Welcher Vektor lässt sich nicht normieren?

Aufgabe 5

Mittel

Vektor normieren

Bestimme den Einheitsvektor in Richtung $v = (2∣2∣1)$ .

e_{v} = \frac{v}{∣ v ∣}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Vektor mit vorgegebener Länge

Bestimme den Vektor der Länge $10$ , der in dieselbe Richtung wie $v = (0∣3∣4)$ zeigt.

w = 10 \frac{v}{∣ v ∣}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Einheitsvektor in Gegenrichtung

Bestimme einen Einheitsvektor, der entgegengesetzt zu $v = (- 1∣2∣2)$ gerichtet ist.

e = - \frac{v}{∣ v ∣}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter vor dem Normieren

Für k > $0$ soll der Einheitsvektor zu $v = (1∣ k ∣2)$ die erste Komponente $\frac{1}{3}$ haben. Bestimme k und den Einheitsvektor.

\frac{1}{∣ v ∣} = \frac{1}{3}

Einen Vektor auf die Länge 1 normieren

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1$ und beschreibt damit nur eine Richtung. Du erhältst ihn, indem du einen Vektor durch seinen Betrag teilst.

e_{v} = \frac{v}{∣ v ∣} (v \neq = 0)

Beim Normieren werden alle Komponenten mit demselben positiven Faktor skaliert. Die Richtung bleibt deshalb erhalten.

Das lernst du

Bestimme einen Einheitsvektor in gegebener Richtung.
Kontrolliere die Länge eines normierten Vektors.
Erzeuge Vektoren mit vorgegebener Länge und Richtung.

Einheitsvektor

Einen Vektor auf die Länge 1 normieren

Das lernst du

Vektor normieren

1Betrag berechnen

2Durch den Betrag teilen

3Kontrollieren

Vorgegebene Länge

1Einheitsrichtung

2Auf Länge 6 skalieren

3Resultat

Normieren

Negative Richtung

Komponente

Normierbarkeit

Vektor normieren

Vektor mit vorgegebener Länge

Einheitsvektor in Gegenrichtung

Parameter vor dem Normieren

Einheitsvektor

Einen Vektor auf die Länge 1 normieren

Das lernst du

Vektor normieren

1Betrag berechnen

2Durch den Betrag teilen

3Kontrollieren

Vorgegebene Länge

1Einheitsrichtung

2Auf Länge 6 skalieren

3Resultat

Normieren

Negative Richtung

Komponente

Normierbarkeit

Vektor normieren

Vektor mit vorgegebener Länge

Einheitsvektor in Gegenrichtung

Parameter vor dem Normieren