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Der Erwartungswert gibt den langfristigen durchschnittlichen Wert eines Zufallsexperiments an.
Lernschritt
Theorie verstehen
Der Erwartungswert gewichtet jeden möglichen Wert einer diskreten Zufallsvariablen mit seiner Wahrscheinlichkeit. Er beschreibt den langfristigen Durchschnitt vieler Wiederholungen.
Für eine Binomialverteilung gilt besonders einfach .
Lernschritt
Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
EinfachEin Spiel zahlt mit Wahrscheinlichkeit aus, sonst CHF . Der Einsatz beträgt CHF . Bestimme den erwarteten Nettogewinn.
Langfristig verliert man im Mittel Rappen pro Spiel.
Ergebnis
Musteraufgabe 2
MittelEin Los zahlt mit Wahrscheinlichkeit genau € aus, sonst €. Es kostet €. Bestimme den erwarteten Nettogewinn.
Gewichte beide Bruttoauszahlungen.
Der feste Preis reduziert jeden Gewinn um €.
Ergebnis
Der erwartete Nettogewinn beträgt € pro Los.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachFür : Bestimme .
Aufgabe 2
EinfachX ist mit Wahrscheinlichkeit und mit Wahrscheinlichkeit . Bestimme .
Aufgabe 3
EinfachBestimme den Erwartungswert eines fairen Würfels.
Aufgabe 4
EinfachMuss ein möglicher Einzelwert von X sein?
Aufgabe 5
MittelEin Spiel bringt mit Wahrscheinlichkeit einen Nettogewinn von € und sonst einen Nettoverlust von €. Berechne den Erwartungswert des Nettogewinns in Euro.
Aufgabe 6
MittelBei unabhängigen Kontrollen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit . Wie viele Treffer sind im Mittel zu erwarten?
Aufgabe 7
AnspruchsvollEin Spiel kostet € Einsatz. Ein fairer Würfel zahlt € bei einer Sechs, € bei einer Fünf und sonst nichts. Berechne den erwarteten Nettogewinn in Euro.
Aufgabe 8
AnspruchsvollEine Zufallsvariable X nimmt die Werte , , und an. Es gilt für ,,. Bestimme zuerst die Konstante c und danach .
