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Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen modellieren Wachstum und Zerfall, bei denen sich ein Wert in gleichen Schritten mit demselben Faktor verändert.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Exponentialfunktionen

Bei exponentiellen Prozessen wird eine Grösse in gleichen Zeitschritten stets mit demselben Faktor multipliziert. In $f (x) = a \cdot b^{x}$ ist a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor.

b > 1 Wachstum 0 < b < 1 Abnahme

Eine Änderungsrate von $p %$ liefert bei Wachstum $b = 1 + \frac{p}{100}$ und bei Abnahme $b = 1 - \frac{p}{100}$ .

Das lernst du

Lies Anfangswert und Wachstumsfaktor aus einem Exponentialterm.
Übersetze prozentuale Zu- und Abnahmen in Wachstumsfaktoren.
Berechne Funktionswerte und löse Exponentialgleichungen mit gleicher Basis.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Exponentielles Wachstum

Eine Kultur startet mit $500$ Zellen und wächst stündlich um $8 %$ . Wie viele Zellen sind nach $3$ Stunden im Modell vorhanden?

1Wachstumsfaktor
$b = 1 + 0, 08 = 1, 08$
2Modell
$N (t) = 500 \cdot 1, 0 8^{t}$
3t = 3 einsetzen
$N (3) = 500 \cdot 1, 0 8^{3} = 629, 856$

Ergebnis

Das Modell ergibt nach $3$ Stunden ungefähr $630$ Zellen.

Musteraufgabe 2

Mittel

Exponentialgleichung mit gleicher Basis

Löse $3 \cdot 2^{x} = 24$ .

1Durch 3 teilen
$2^{x} = 8$
28 als Zweierpotenz
$8 = 2^{3}$
3Exponenten vergleichen
$x = 3$

Ergebnis

$x = 3$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Potenzen geschickt zusammenfassen

Berechne $f (3)$ für $f (x) = 2^{x + 1} + 2^{x - 1}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Wachstumsfaktor aus Messwerten

Eine Grösse steigt in drei gleichen Schritten von $250$ auf $432$ . Bestimme den konstanten Wachstumsfaktor $b$ .

Aufgabe 3

Einfach

Anfangswert rückwärts bestimmen

Nach vier aufeinanderfolgenden Abnahmen um jeweils $15%$ beträgt eine Grösse $835, 21$ . Bestimme ihren Anfangswert.

Aufgabe 4

Einfach

Verschiedene Basen vergleichen

Löse $9^{x - 1} = 2 7^{2 x - 3}$ .

Aufgabe 5

Mittel

Exponentialterme zusammenfassen

Löse die Exponentialgleichung.

2^{x} + 2^{x + 1} = 96

Aufgabe 6

Mittel

Modell aus zwei Messwerten

Eine Messgrösse folgt einem Exponentialmodell. Bestimme den Anfangswert A.

N (t) = A \cdot b^{t} N (1) = 90 N (4) = 720

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Quadratische Gleichung in e hoch x

Bestimme alle reellen Lösungen der Exponentialgleichung.

e^{2 x} - 7 e^{x} + 12 = 0

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Modell rekonstruieren und Schwelle bestimmen

Für ein natürliches Exponentialmodell sind zwei Messwerte bekannt. Zu welchem Zeitpunkt erreicht es den Wert $2560$ ?

N (t) = A e^{k t} N (2) = 80 N (5) = 640

Exponentialfunktionen

Bei exponentiellen Prozessen wird eine Grösse in gleichen Zeitschritten stets mit demselben Faktor multipliziert. In $f (x) = a \cdot b^{x}$ ist a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor.

b > 1 Wachstum 0 < b < 1 Abnahme

Eine Änderungsrate von $p %$ liefert bei Wachstum $b = 1 + \frac{p}{100}$ und bei Abnahme $b = 1 - \frac{p}{100}$ .

Das lernst du

Lies Anfangswert und Wachstumsfaktor aus einem Exponentialterm.
Übersetze prozentuale Zu- und Abnahmen in Wachstumsfaktoren.
Berechne Funktionswerte und löse Exponentialgleichungen mit gleicher Basis.

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen

Das lernst du

Exponentielles Wachstum

1Wachstumsfaktor

2Modell

3t = 3 einsetzen

Exponentialgleichung mit gleicher Basis

1Durch 3 teilen

28 als Zweierpotenz

3Exponenten vergleichen

Potenzen geschickt zusammenfassen

Wachstumsfaktor aus Messwerten

Anfangswert rückwärts bestimmen

Verschiedene Basen vergleichen

Exponentialterme zusammenfassen

Modell aus zwei Messwerten

Quadratische Gleichung in e hoch x

Modell rekonstruieren und Schwelle bestimmen

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen

Das lernst du

Exponentielles Wachstum

1Wachstumsfaktor

2Modell

3t = 3 einsetzen

Exponentialgleichung mit gleicher Basis

1Durch 3 teilen

28 als Zweierpotenz

3Exponenten vergleichen

Potenzen geschickt zusammenfassen

Wachstumsfaktor aus Messwerten

Anfangswert rückwärts bestimmen

Verschiedene Basen vergleichen

Exponentialterme zusammenfassen

Modell aus zwei Messwerten

Quadratische Gleichung in e hoch x

Modell rekonstruieren und Schwelle bestimmen