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Extrempunkte berechnen

Extrempunkte liegen an Stellen, an denen die Steigung null ist und das Vorzeichen der Ableitung wechselt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Extrempunkte berechnen

An einem inneren lokalen Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion gilt notwendig $f^{'} (x_{E}) = 0$ . Ob tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, zeigt der Vorzeichenwechsel von f′ oder häufig der Test mit f″.

f^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow Tiefpunkt f^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow Hochpunkt

Ist $f^{''} (x_{E}) = 0$ , ist der zweite Ableitungstest nicht entscheidend. Dann musst du das Vorzeichen von f′ prüfen. Zum Extrempunkt gehört auch $y_{E} = f (x_{E})$ .

Das lernst du

Bestimme stationäre Stellen mit f′(x) = 0.
Klassifiziere Kandidaten mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel von f′.
Berechne vollständige Hoch- und Tiefpunkte.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Hoch- und Tiefpunkt einer Kubikfunktion

Bestimme die Extrempunkte von $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

1Kandidaten
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
2Klassifizieren
$f^{''} (x) = 6 x$
$f^{''} (- 1) = - 6 < 0$ : Hochpunkt; $f^{''} (1) = 6 > 0$ : Tiefpunkt.
3Funktionswerte
$f (- 1) = 2 f (1) = - 2$

Ergebnis

$H (- 1 ∣ 2)$ und $T (1 ∣ - 2)$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Wenn f″ nicht entscheidet

Untersuche $g (x) = x^{4}$ bei $x = 0$ .

1Erste und zweite Ableitung
$g^{'} (x) = 4 x^{3} g^{''} (x) = 12 x^{2}$ $g^{'} (0) = g^{''} (0) = 0$
2Vorzeichen von g′
Für x < $0$ ist g′ negativ, für x > $0$ positiv.
3Wechsel deuten
Der Graph wechselt von fallend zu steigend.

Ergebnis

Trotz $g^{''} (0) = 0$ besitzt g den Tiefpunkt $T (0 ∣ 0)$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Scheitel als Extrempunkt

Bestimme die x-Koordinate des Extrempunkts von $f (x) = x^{2} - 8 x + 3$ .

Aufgabe 2

Einfach

Zweiter Ableitungstest

Es gilt $f^{'} (2) = 0$ und $f^{''} (2) = - 5$ . Welche Art Punkt liegt vor?

Aufgabe 3

Einfach

Punkt vervollständigen

Für $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ liegt der Extremwert bei $x = 2$ . Bestimme die y-Koordinate.

Aufgabe 4

Einfach

Notwendige Bedingung

Reicht $f^{'} (x_{0}) = 0$ allein als Beweis für einen Extrempunkt?

Aufgabe 5

Mittel

Scheitel als Tiefpunkt

Bestimme den Extrempunkt von $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

Aufgabe 6

Mittel

Hoch- und Tiefpunkt einer kubischen Funktion

Bestimme alle Extrempunkte von $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Drei Extrempunkte einer Funktion vierten Grades

Bestimme und klassifiziere alle Extrempunkte von $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Extrempunkt einer Exponentialfunktion

Bestimme den Extrempunkt von $f (x) = e^{x} (x - 2)$ .

Extrempunkte berechnen

f^{''} (x_{E}) > 0 \Rightarrow Tiefpunkt f^{''} (x_{E}) < 0 \Rightarrow Hochpunkt

Ist $f^{''} (x_{E}) = 0$ , ist der zweite Ableitungstest nicht entscheidend. Dann musst du das Vorzeichen von f′ prüfen. Zum Extrempunkt gehört auch $y_{E} = f (x_{E})$ .

Das lernst du

Bestimme stationäre Stellen mit f′(x) = 0.
Klassifiziere Kandidaten mit f″ oder dem Vorzeichenwechsel von f′.
Berechne vollständige Hoch- und Tiefpunkte.

Extrempunkte berechnen

Extrempunkte berechnen

Das lernst du

Hoch- und Tiefpunkt einer Kubikfunktion

1Kandidaten

2Klassifizieren

3Funktionswerte

Wenn f″ nicht entscheidet

1Erste und zweite Ableitung

2Vorzeichen von g′

3Wechsel deuten

Scheitel als Extrempunkt

Zweiter Ableitungstest

Punkt vervollständigen

Notwendige Bedingung

Scheitel als Tiefpunkt

Hoch- und Tiefpunkt einer kubischen Funktion

Drei Extrempunkte einer Funktion vierten Grades

Extrempunkt einer Exponentialfunktion

Extrempunkte berechnen

Extrempunkte berechnen

Das lernst du

Hoch- und Tiefpunkt einer Kubikfunktion

1Kandidaten

2Klassifizieren

3Funktionswerte

Wenn f″ nicht entscheidet

1Erste und zweite Ableitung

2Vorzeichen von g′

3Wechsel deuten

Scheitel als Extrempunkt

Zweiter Ableitungstest

Punkt vervollständigen

Notwendige Bedingung

Scheitel als Tiefpunkt

Hoch- und Tiefpunkt einer kubischen Funktion

Drei Extrempunkte einer Funktion vierten Grades

Extrempunkt einer Exponentialfunktion