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Fläche unter einem Graphen

Die Fläche unter einem Graphen wird durch ein bestimmtes Integral über die Intervallgrenzen bestimmt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Liegt f auf $[a, b]$ nicht unter der x-Achse, entspricht das Integral direkt dem geometrischen Flächeninhalt.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x f \overset{u}{¨} r f (x) \geq 0

Bei negativen Funktionswerten zählt das Integral orientiert. Für geometrische Fläche musst du an Nullstellen aufteilen und negative Teilintegrale im Betrag nehmen.

Das lernst du

Prüfe die Lage des Graphen zur x-Achse.
Berechne positive Flächen direkt mit einem bestimmten Integral.
Unterscheide orientiertes Integral und geometrischen Flächeninhalt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Positive Parabelfläche

Berechne die Fläche unter $f (x) = x^{2}$ von $0$ bis $2$ .

1Vorzeichen
$x^{2} \geq 0$ auf [ $0, 2$ ].
2Integral
$A = \int_{0}^{2} x^{2} d x$
3Auswerten
$A = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$

Ergebnis

$A = \frac{8}{3}$ Flächeneinheiten.

Musteraufgabe 2

Mittel

Fläche unter einer Geraden

Berechne die Fläche unter $g (x) = 2 x + 1$ auf [ $0, 3$ ].

1Positivität
$g (x) \geq 1 > 0$
2Stammfunktion
$G (x) = x^{2} + x$
3Grenzen
$A = [x^{2} + x]_{0}^{3} = 12$

Ergebnis

Die Fläche beträgt $12$ Flächeneinheiten.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Rechtecksfläche

Berechne die Fläche unter $f (x) = 4$ auf [ $1, 5$ ].

Aufgabe 2

Einfach

Dreiecksfläche

Berechne die Fläche unter $f (x) = x$ auf [ $0, 4$ ].

Aufgabe 3

Einfach

Vorzeichen prüfen

Auf [a,b] gilt $f (x)$ < $0$ . Ist $\int_{a}^{b} f (x) d x$ der geometrische Flächeninhalt?

Aufgabe 4

Einfach

Quadratische Fläche

Berechne $\int_{0}^{3} 2 x d x$ .

Aufgabe 5

Mittel

Fläche unter einer fallenden Geraden

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f (x) = 3 - x$ und der x-Achse auf [ $0, 3$ ].

A = \int_{0}^{3} (3 - x) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Fläche unter einer positiven Parabel

Berechne die Fläche zwischen $f (x) = x^{2} + 1$ und der x-Achse auf [ $0, 2$ ].

A = \int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Fläche bei einem Vorzeichenwechsel

Bestimme die gesamte geometrische Fläche zwischen $f (x) = x^{2} - 4$ und der x-Achse auf [ $0, 3$ ].

f (x) = x^{2} - 4

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Symmetrische Fläche einer kubischen Funktion

Berechne die gesamte geometrische Fläche zwischen $f (x) = x^{3} - 4 x$ und der x-Achse auf [− $2, 2$ ].

f (x) = x (x - 2) (x + 2)

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Liegt f auf $[a, b]$ nicht unter der x-Achse, entspricht das Integral direkt dem geometrischen Flächeninhalt.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x f \overset{u}{¨} r f (x) \geq 0

Bei negativen Funktionswerten zählt das Integral orientiert. Für geometrische Fläche musst du an Nullstellen aufteilen und negative Teilintegrale im Betrag nehmen.

Das lernst du

Prüfe die Lage des Graphen zur x-Achse.
Berechne positive Flächen direkt mit einem bestimmten Integral.
Unterscheide orientiertes Integral und geometrischen Flächeninhalt.

Fläche unter einem Graphen

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Das lernst du

Positive Parabelfläche

1Vorzeichen

2Integral

3Auswerten

Fläche unter einer Geraden

1Positivität

2Stammfunktion

3Grenzen

Rechtecksfläche

Dreiecksfläche

Vorzeichen prüfen

Quadratische Fläche

Fläche unter einer fallenden Geraden

Fläche unter einer positiven Parabel

Fläche bei einem Vorzeichenwechsel

Symmetrische Fläche einer kubischen Funktion

Fläche unter einem Graphen

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Das lernst du

Positive Parabelfläche

1Vorzeichen

2Integral

3Auswerten

Fläche unter einer Geraden

1Positivität

2Stammfunktion

3Grenzen

Rechtecksfläche

Dreiecksfläche

Vorzeichen prüfen

Quadratische Fläche

Fläche unter einer fallenden Geraden

Fläche unter einer positiven Parabel

Fläche bei einem Vorzeichenwechsel

Symmetrische Fläche einer kubischen Funktion