Themenübersicht

Funktionen verstehen

Funktionen ordnen jedem erlaubten Eingabewert genau einen Ausgabewert zu und lassen sich als Term, Tabelle oder Graph darstellen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Funktionen als eindeutige Zuordnungen

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert $x$ genau einen Ausgabewert $y$ zu. Die Schreibweise $y = f (x)$ bedeutet: $y$ ist eine Funktion von $x$ und hängt von $x$ ab.

Der Buchstabe $f$ ist dabei nur der Name der Funktion. Genauso könnte die Funktion $g$ oder $h$ heissen; $f$ ist jedoch die übliche Bezeichnung.

f : D \to W x \mapsto f (x)

Setzt du einen konkreten Wert für $x$ in $f (x)$ ein, erhältst du den zugehörigen $y$ -Wert. Im Graphen entspricht er der Höhe der Funktion an dieser Stelle:

x = a ⟹ y = f (a) Punkt (a ∣ f (a))

Ein y-Wert darf zu mehreren x-Werten gehören; verboten ist nur, dass derselbe x-Wert mehrere y-Werte erhält. Im Graphen erkennt dies der Senkrechtentest.

Das lernst du

Prüfe Zuordnungen und Graphen auf die Eindeutigkeit einer Funktion.
Berechne Funktionswerte und ordne Punkte einem Graphen zu.
Bestimme zu einem gegebenen Funktionswert passende Eingabewerte.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Funktionswert und Graphpunkt

Gegeben ist $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ . Berechne $f (- 2)$ und gib den zugehörigen Graphpunkt an.

1Mit Klammern einsetzen
$f (- 2) = (- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) + 1$
2Berechnen
$f (- 2) = 4 + 6 + 1 = 11$
3Punkt notieren
Zum x-Wert $- 2$ gehört der y-Wert $11$ .

Ergebnis

$f (- 2) = 11$ ; der Punkt $(- 2 ∣ 11)$ liegt auf dem Graphen.

Musteraufgabe 2

Mittel

Eingabe aus der Ausgabe bestimmen

Für $g (x) = 2 x + 5$ wird der Funktionswert $17$ gesucht. Bestimme x.

1Funktionswert gleichsetzen
$2 x + 5 = 17$
2Nach x auflösen
$2 x = 12 \Rightarrow x = 6$
3Probe
$g (6) = 2 \cdot 6 + 5 = 17$

Ergebnis

Der Eingabewert ist $x = 6$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Funktionswert

Berechne $f (- 3)$ für $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Punkt prüfen

Liegt $P (2 ∣ 5)$ auf $f (x) = x^{2} + 1$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Eindeutigkeit

Welche Zuordnung ist keine Funktion von x nach y?

Aufgabe 4

Einfach

Eingabewert bestimmen

Für $h (x) = 5 x - 4$ gilt $h (x) = 21$ . Bestimme x.

Aufgabe 5

Mittel

Funktionswert einer quadratischen Funktion

Gegeben ist $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ . Berechne $f (- 2)$ .

Aufgabe 6

Mittel

Eindeutige Zuordnung erkennen

Welche der folgenden Mengen von Wertepaaren beschreibt eine Funktion x ↦ y?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Funktionen verketten

Gegeben sind $f (x) = 2 x - 3$ und $g (x) = x^{2} + 1$ . Bestimme $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ in vollständig vereinfachter Form.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Verdeckte Umkehrfunktion auswerten

Eine Funktion h macht die folgende Zuordnung für alle zulässigen x rückgängig. Bestimme $h (3)$ .

h (\frac{2 x - 1}{x + 2}) = x x \neq = - 2

Funktionen als eindeutige Zuordnungen

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert $x$ genau einen Ausgabewert $y$ zu. Die Schreibweise $y = f (x)$ bedeutet: $y$ ist eine Funktion von $x$ und hängt von $x$ ab.

Der Buchstabe $f$ ist dabei nur der Name der Funktion. Genauso könnte die Funktion $g$ oder $h$ heissen; $f$ ist jedoch die übliche Bezeichnung.

f : D \to W x \mapsto f (x)

Setzt du einen konkreten Wert für $x$ in $f (x)$ ein, erhältst du den zugehörigen $y$ -Wert. Im Graphen entspricht er der Höhe der Funktion an dieser Stelle:

x = a ⟹ y = f (a) Punkt (a ∣ f (a))

Ein y-Wert darf zu mehreren x-Werten gehören; verboten ist nur, dass derselbe x-Wert mehrere y-Werte erhält. Im Graphen erkennt dies der Senkrechtentest.

Das lernst du

Prüfe Zuordnungen und Graphen auf die Eindeutigkeit einer Funktion.
Berechne Funktionswerte und ordne Punkte einem Graphen zu.
Bestimme zu einem gegebenen Funktionswert passende Eingabewerte.

Funktionen verstehen

Funktionen als eindeutige Zuordnungen

Das lernst du

Funktionswert und Graphpunkt

1Mit Klammern einsetzen

2Berechnen

3Punkt notieren

Eingabe aus der Ausgabe bestimmen

1Funktionswert gleichsetzen

2Nach x auflösen

3Probe

Funktionswert

Punkt prüfen

Eindeutigkeit

Eingabewert bestimmen

Funktionswert einer quadratischen Funktion

Eindeutige Zuordnung erkennen

Funktionen verketten

Verdeckte Umkehrfunktion auswerten

Funktionen verstehen

Funktionen als eindeutige Zuordnungen

Das lernst du

Funktionswert und Graphpunkt

1Mit Klammern einsetzen

2Berechnen

3Punkt notieren

Eingabe aus der Ausgabe bestimmen

1Funktionswert gleichsetzen

2Nach x auflösen

3Probe

Funktionswert

Punkt prüfen

Eindeutigkeit

Eingabewert bestimmen

Funktionswert einer quadratischen Funktion

Eindeutige Zuordnung erkennen

Funktionen verketten

Verdeckte Umkehrfunktion auswerten