Gebrochenrationale Funktionen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion stehen Polynome in Zähler und Nenner. Nullstellen des Nenners sind aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Faktorisiere zuerst Zähler und Nenner. Eine Nennernullstelle, deren Faktor sich nicht kürzt, erzeugt eine senkrechte Asymptote $x=x_P$: Mindestens ein einseitiger Funktionswert wächst dort betragsmässig unbegrenzt. Kürzt sich der Faktor vollständig, bleibt stattdessen eine hebbare Lücke.

Das Verhalten für $|x|\to \infty$ folgt aus dem Vergleich von Zählergrad $n$ und Nennergrad $m$. Sind $a_n$ und $b_m$ die Leitkoeffizienten, gelten die folgenden Regeln.

• $n<m$: waagrechte Asymptote $y=0$.
• $n=m$: waagrechte Asymptote $y=\frac{a_n}{b_m}$.
• $n=m+1$: schräge Asymptote. Der Quotient der Polynomdivision ist eine Gerade $y=ax+b$.
• $n>m+1$: Der Quotient der Polynomdivision ist eine polynomiale Asymptote höheren Grades.

Bei der Polynomdivision gilt $p(x)=q(x)\cdot s(x)+r(x)$. Damit ist $f(x)=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)}$; weil der Restbruch für grosse $|x|$ gegen null geht, nähert sich der Graph dem Quotienten $s(x)$.