Themenübersicht

Geradengleichung im Raum

Eine Geradengleichung beschreibt alle Punkte einer räumlichen Geraden mit Stützvektor und Richtungsvektor.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Geraden im Raum parametrisieren

Eine Gerade wird durch einen Stützpunkt P und einen von null verschiedenen Richtungsvektor v beschrieben. Der Parameter t durchläuft alle reellen Zahlen.

g : x = p + t v t \in R

Für eine Gerade durch A und B kannst du $p = O A$ und $v = A B$ wählen.

Das lernst du

Stelle eine Gerade durch zwei Punkte auf.
Lies Stütz- und Richtungsvektor korrekt ab.
Prüfe einen Punkt durch einen gemeinsamen Parameter.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Gerade durch zwei Punkte

Stelle die Gerade durch $A (1∣2∣ - 1)$ und $B (4∣0∣5)$ auf.

1Stützvektor
$p = (1∣2∣ - 1)$
2Richtung
$A B = (4 - 1∣0 - 2∣5 - (- 1)) = (3∣ - 2∣6)$
3Gleichung
$g : x = (1∣2∣ - 1) + t (3∣ - 2∣6)$

Ergebnis

$g : x = (1∣2∣ - 1) + t (3∣ - 2∣6)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Punktprobe

Liegt $Q (7∣ - 2∣11)$ auf dieser Geraden?

1x-Komponente
$1 + 3 t = 7 \Rightarrow t = 2$
2Andere Komponenten
$2 - 2 \cdot 2 = - 2 - 1 + 6 \cdot 2 = 11$
3Folgerung
Derselbe Parameter erfüllt alle drei Komponenten.

Ergebnis

Ja, Q liegt auf g.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Richtungsvektor

Welche x-Komponente hat ein Richtungsvektor der Geraden durch $A (2∣1∣0)$ und $B (8∣4∣ - 2)$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Parameter

Für $g : x = (1∣0∣2) + t (2∣3∣ - 1)$ : Welcher Parameter liefert $x = 7$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Punkt berechnen

Welche z-Koordinate hat der Geradenpunkt bei $t = - 2$ auf $x = (0∣1∣4) + t (1∣ - 1∣3)$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Gültige Richtung

Darf der Richtungsvektor $0$ sein?

Aufgabe 5

Mittel

Gerade durch zwei Punkte

Stelle eine Parametergleichung der Geraden durch $A (1∣2∣ - 1)$ und $B (5∣0∣3)$ auf.

g : x = a + t A B

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Geradenpunkt berechnen

Bestimme den Punkt der Geraden g für $t = - 2$ .

g : x = (0∣1∣3) + t (2∣ - 1∣4)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Punktprobe mit gemeinsamem Parameter

Prüfe, ob $Q (7∣ - 1∣5)$ auf der Geraden g liegt.

g : x = (1∣2∣ - 1) + t (2∣ - 1∣2)

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parallele Gerade aus zwei weiteren Punkten

Stelle die Gerade durch $P (2∣ - 1∣0)$ auf, die parallel zum Verbindungsvektor von $A (- 1∣2∣3)$ nach $B (2∣6∣1)$ ist.

v = A B

Geraden im Raum parametrisieren

Eine Gerade wird durch einen Stützpunkt P und einen von null verschiedenen Richtungsvektor v beschrieben. Der Parameter t durchläuft alle reellen Zahlen.

g : x = p + t v t \in R

Für eine Gerade durch A und B kannst du $p = O A$ und $v = A B$ wählen.

Das lernst du

Stelle eine Gerade durch zwei Punkte auf.
Lies Stütz- und Richtungsvektor korrekt ab.
Prüfe einen Punkt durch einen gemeinsamen Parameter.

Geradengleichung im Raum

Geraden im Raum parametrisieren

Das lernst du

Gerade durch zwei Punkte

1Stützvektor

2Richtung

3Gleichung

Punktprobe

1x-Komponente

2Andere Komponenten

3Folgerung

Richtungsvektor

Parameter

Punkt berechnen

Gültige Richtung

Gerade durch zwei Punkte

Geradenpunkt berechnen

Punktprobe mit gemeinsamem Parameter

Parallele Gerade aus zwei weiteren Punkten

Geradengleichung im Raum

Geraden im Raum parametrisieren

Das lernst du

Gerade durch zwei Punkte

1Stützvektor

2Richtung

3Gleichung

Punktprobe

1x-Komponente

2Andere Komponenten

3Folgerung

Richtungsvektor

Parameter

Punkt berechnen

Gültige Richtung

Gerade durch zwei Punkte

Geradenpunkt berechnen

Punktprobe mit gemeinsamem Parameter

Parallele Gerade aus zwei weiteren Punkten